Sommersemester 2003

V 19109: Singuläre Störungstheorie - Dynamik mit mehreren Zeitskalen

Dr. Stefan Liebscher

Termin

Vorlesung:

Mo 14-16, Arnimallee 6 (Pi-Gebäde), SR 009

Inhalt

In vielen Anwendungen werden die betrachteten Modelle von mehreren verschiedenen Zeitskalen bestimmt: die einzelnen Komponenten des Systems variieren in Zeiträumen, die sich um Größenordnungen unterscheiden. Die mathematische Beschreibung solcher Prozesse führt dann auf singulär gestörte Differentialgleichungen, auch Slow-Fast-Systems genannt.

In der Vorlesung werden wir Methoden zur Analyse solcher Systeme kennenlernen. Dabei wird es im ersten Abschnitt um Mittelungsmethoden (Averaging) gehen, die die schnell variierenden Komponenten durch einen Mittelwert ersetzen. Wir werden klären, für welche Zeitspannen die so gewonnene Approximation unser Ursprungssystem gut genug widerspiegelt. Danach werden wir uns dem geometrischen Zugang widmen. Invariante Mannigfaltigkeiten sind ein vielseitiges und mächtiges Werkzeug zur Reduktion des Problems, können aber Singularitäten bilden. Diese Singularitäten werden wir im letzten Abschnitt mit Blow-up-Techniken untersuchen.

Dies wird uns in die Lage versetzen, vielfältige Phänomene anhand von Beispielen zu studieren, z.B. singuläre periodische und homokline Trajektorien, verzögerte Verzweigungen und Canards.

Literatur

1. V.I. Arnol'd and R.V. Gamkrelidze, editors: Dynamical systems V. Bifurcation theory and catastrophe theory, volume 5 of Encycl. Math. Sc. Springer-Verlag, New York, 1994.
2. N. Fenichel: Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations. Journal of Differential Equations, 31 (1979), pp. 53-89
3. J. Guckenheimer and P. Holmes: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, volume 42 of Appl. Math. Sc. Springer-Verlag, New York, 1982
4. C.K.R.T. Jones: Geometric singular perturbation theory. In R. Johnson, editor, Dynamical Systems, volume 1609 of Lect. Notes Math. Springer-Verlag, New York, 1995
5. M. Krupa and P. Szmolyan: Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points - fold and canard points in two dimensions. SIAM Journal Math. Analysis 33 (2001), pp 286-314
6. P. Lochak and C. Meunier: Multiphase averaging for classical systems, volume 72 of Appl. Math. Sc. Springer-Verlag, New York, 1988
7. J.A. Sanders and F. Verhulst: Averaging methods in nonlinear dynamical systems, volume 59 of Appl. Math. Sc. Springer-Verlag, New York 1985