Sommersemester 2010

19.-23. Juli 2010, Jugendherberge Ravensbrück (Fürstenberg/Havel)

Kompaktseminar Geschichte(n) der Dynamik

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Dr. Stefan Liebscher

Vorbesprechung:
Donnerstag 6. Mai 2010, 11:00, Raum 130, Arnimallee 3, Hinterhaus

Inhalt

Wir wollen den Ursprüngen und der einen oder anderen Perle der Dynamik nachspüren und unseren Blick auf die Mathematik in Geschichte und Gegenwart erweitern.

Jedes Thema ist für zwei Studierende zur gemeinsamen Bearbeitung und Präsentation vorgesehen. Die einzelnen Themen sind (nur) lose miteinander verknüpft, so dass der freien Entfaltung lediglich zeitliche Grenzen gesetzt sind.

Das Seminar wird in einer Jugendherberge im Umland Berlins stattfinden. (Gespräche über nicht- mathematische Themen sind außerhalb der Vorträge gestattet. ) Nähreres zur Vorbesprechung.

Literatur

• K.T. Alligood, T.D. Sauer and J.A. Yorke: Chaos, Springer, 1997.
• V.I. Arnold: Ordinary Differential Equations, Springer, 2001.
• V.I. Arnold: Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer, 1988.
• K. Burns, B. Hasselblatt: The Sharkovsky theorem: a natural direct approach, Preprint 2008.
• J. Hale, H. Koçak: Dynamics and bifurcations, Springer, 1996.
• B. Hasselblatt, A. Katok: A First Course in Dynamics, Cambridge 2003.
• J. Hofbauer, K. Sigmund: Evolutionary games and population dynamics, Cambridge University Press 1998.
• K. Kuperberg: Aperiodic Dynamical Systems, Notices of the AMS, October 1999.
• P. Schweitzer: Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations, The Annals of Mathematics, Second series, 100(2), 1974

Zielgruppe

Studierende des 4.-6. Semesters, Studierende der BMS

Voraussetzungen

Vorlesungen Analysis I-III, Vorlesung Dynamische Systeme des laufenden Semesters

Perspektiven

Bachelor-, Master- und Diplomarbeiten

Vortragsthemen

Hals über Kopf ins Gleichgewicht: das angeregte, umgekehrte Pendel

• Literatur: Arnold: Ordinary Differential Equations, 3.28
• Pflicht: Poincaré Abbildung, Stabilität, Schaukel, angeregtes inverses Pendel
• Kür: Averaging, Resonanzen

Immer der Nase nach: der geodätische Fluss

• Literatur: Arnold: Geometrical Methods ..., 3.14D, 3.13-3.14
• Pflicht: Anosov-Abbildung, Anosov-Fluss, Lobachevsky-Ebene/Poincaré-Kreisscheibe, geodätischer Fluss, Grenzkreise
• Kür: Strukturelle Stabilität, Hyperbolizität, stabile/instabile Mannigfaltigkeiten

Verzweigung ins Chaos: Periodenverdopplung und die logistische Abbildung

• Literatur: Hale, Koçak: Dynamics and bifurcations, 3.2-3.5; Hasselblatt, Katok: A First Course in Dynamics, 11
• Pflicht: Verzweigung: Periodenverdopplung, logistische Abbildung, Computerexperimente
• Kür: Zeltabbildung, Konjugation, mehr Computerexperimente

Three's a crowd: Periode 3 impliziert Chaos

• Literatur: Burns, Hasselblatt: The Sharkovsky theorem: a natural direct approach
• Pflicht: Intervall-Inclusion, Modelle gerichteter Graphen, Periode 3 impliziert jede minimale Periode
• Kür: Sharkovsky-Sequenz

Mehr Platz, mehr Unordnung: der Hénon Attraktor

• Literatur: Hale, Koçak: Dynamics and bifurcations, 15
• Pflicht: Approximation des logistischen Flusses durch Euler und zentrale Differenzen, Hénon-Abbildung als Interpolation beider Approximation, Saddle-Node und Periodenverdopplung in der Hénon-Abbildung, Computerexperimente
• Kür: Poincaré-Andronov-Hopf-Verzweigung

Von Tauben und Falken: Nash-Gleichgewichte und Evolutions-Dynamik

• Literatur: Hofbauer, Sigmund: Evolutionary games and population dynamics, 6-7, evtl. 8
• Pflicht: Nash-Gleichgewicht, Stabilität, evolutionäre Stabilität, Replicator vs. Lotka-Volterra, exclusion principle
• Kür: weitere Modelle

Das Hemd ist mir näher als der Rock: Gefangenendilemma und adaptive Dynamik

• Literatur: Hofbauer, Sigmund: Evolutionary games and population dynamics, 9
• Pflicht: (Un)erreichbarkeit evolutionär stabiler Strategien, adaptive Tauben-und-Falken Dynamik
• Kür: weitere Modelle

Henne oder Ei: Eigen's Hyperzyklus

• Literatur: Hofbauer, Sigmund: Evolutionary games and population dynamics, 12
• Pflicht: Eigen/Schuster-Modell primordialer Evolution, Hyperzyklen, Lyapunov-Funktion, Permanenz, Konkurrenz
• Kür: Kapitel 13

Kreisläufe ohne Wiederkehr: Die Seifert-Vermutung (I)

• Literatur: Kuperberg: Aperiodic Dynamical Systems; Schweitzer: Counterexamples to the Seifert conjecture...
• Pflicht: Torus, S^3, Hopf-Faserung, invariante Mengen, minimale invariante Mengen, irrationaler Fluss auf dem Torus, Denjoy-Fluss auf dem Torus
• Kür: Kämmen des Igels

Kreisläufe ohne Wiederkehr: Die Seifert-Vermutung (II)

• Literatur: Kuperberg: Aperiodic Dynamical Systems; Schweitzer: Counterexamples to the Seifert conjecture...
• Pflicht: Seifertsche Vermutung, Stöpsel, Schweitzers Gegenbeispiel
• Kür: Kuperbergs Gegenbeispiel (Skizze)