Wintersemester 2010/2011

Seminar Delay-Gleichungen

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Dr. Stefan Liebscher

Termine
Nicht-BMS-Freitrage, 14:15, Seminarraum 140, Arnimallee 7, Hinterhaus
12.11.2010, 19.11.2010, 3.12.2010, 17.12.2010, 7.1.2011, 21.1.2011, 4.2.2011, 18.2.2011

Inhalt

Bei der Modellierung vieler Problemstellungen in Naturwissenschaft und Technik wird davon ausgegangen, dass die zukünftige Entwicklung eines Systems nur von seinem momentanen Zustand und dessen Änderungsraten abhängt. Auf diese Weise gelangt man zu gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen. Die so entstehenden Modelle können jedoch oft nur als erste Approximationen angesehen werden, da Anwendungen häufig durch zeitliche Verzögerungen gekennzeichnet sind. Für eine erfolgreiche Modellierung müssen in diesen Fällen auch Zustände aus der Vergangenheit berücksichtigt werden. Auf diese Weise gelangt man zu sogenannten Delay-Gleichungen. Wichtige Anwendungsfelder beinhalten die Populationsdynamik, zum Beispiel die Volterra-Modelle zu Räuber-Beute-Systemen, Kontrolltheorie mit Rückkopplungsmechanismen, Laser-Dynamik u.v.m. In diesem Seminar möchten wir uns mit der Theorie der Delay-Gleichungen auseinandersetzen und diese auf einige Beispiele anwenden.

Literatur

• J. Hale, S.M. Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differential Equations. Springer, 1993.
• V.B. Kolmanovskii, V.R.Nosov: Stability of Functional Differential Equations. Academic Press, 1986.
• Yu.A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 2004

Zielgruppe

Studierende des 5.-7. Semesters, Studierende der BMS

Voraussetzungen

Vorlesungen Analysis I-III, Vorlesung Dynamische Systeme, auch parallel zur Vorlesung des laufenden Semesters

Perspektiven

Bachelor-, Master- und Diplomarbeiten

Vortragsthemen

Introduction. Linear retarded differential difference equation.

• Literatur: Hale, Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differential Equations, ch. 1
• Inhalt: Existenz/Eindeutigkeit, charakteristische Gleichung, Laplace Transformation, Fundamentallösung, Variation der Konstanten

Basics. Retarded functional differential equations.

• Literatur: Hale, Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differential Equations, ch. 2
• Inhalt: Existenz/Eindeutigkeit, stetige Abhängigkeit, Fortsetzbarkeit, Differenzierbarkeit

Solution map.

• Literatur: Hale, Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differential Equations, ch. 3
• Inhalt: Eineindeutigkeit, kleine Lösungen, Kompaktheit

Hopf bifurcation.

• Literatur: Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory
  Hale, Verduyn Lunel: Introduction to Functional Differential Equations, ch. 11.1
• Inhalt: Hopf für ODEs, Delay Gleichungen

Example, control systems with delay.

• Literatur: tba
• Inhalt: Reduktion eines Problems optimaler Delay-Kontrolle auf ein Randwertproblem.

Example, sunflower equation.

• Literatur: tba
• Inhalt: Existenz und Beschreibung des Attraktors

Example, delay stabilization of periodic orbits.

• Literatur: tba
• Inhalt: Stabilisierung des instablilen periodischen Orbits naher einer subkritischen Hopf-Verzweigung