Sommersemester 2013

Proseminar Analysis

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Bernhard Brehm, Hannes Stuke

Termin

Mittwoch, 10:15-12:00, Arnimallee 7, Raum 140.

Mittwoch, 14:15-16:00, Arnimallee 7, Raum 140.

Vorbesprechung:

Mittwoch, 17.4.2013, 14:15-16:00, Arnimallee 7, Raum 140.

Der erste Vortragstermin ist am Mittwoch, 8.5.2013 um 14:15.

Inhalt

Ziel des Seminars ist es, Themen der Analysis, welche nicht in der Vorlesung behandelt werden k\"onnen, zu bearbeiten. Dabei sollen sowohl Vortragsechnik entwickelt und verbessert als auch der Blick auf die Mathematik in Geschichte und Gegenwart erweitert werden.

Literatur

TBA

Zielgruppe

Studierende des 2.-4. Semesters

Voraussetzungen

Lineare Algebra I, Analysis I, Computerorientierte Mathematik

Vortragsthemen

Regenbögen und Kaustiken

• Pflicht: Winkel des Regenbogens, Kaustiken [Wikipedia; Übungsaufgabe; Arnold, Catastrophe theory, 8; auch Adam]
• Kür: [Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, René Descartes, Christiaan Huygens, Pierre de Fermat] Lichtbrechung im Wassertropfen, Extremwerte, Kaustiken, Wellenlängenabhängigkeit, mehrfache Regenbögen

Nash-Gleichgewichte und der kalte Krieg

• Details TBA

Arrows Theorem/Paradox

• Details TBA

Venustransit und die Vermessung des Sonnensystems

• Details TBA

Kepler und die Weltharmonik

• Pflicht: (Nicht-)Konstruierbarkeit regulärer n-Ecke [Kepler, Weltharmonik, 1.Buch, XLV.Satz]; alternativ: Dreiteilung des Winkels [Courant/Robbins, Was ist Mathematik, III.3.3]
• Kür: [Tycho Brahe, Johannes Kepler, Carl Friedrich Gauß, Évariste Galois] Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, (Nicht-)Konstruierbarkeit regulärer n-Ecke, Fermatsche Primzahlen, andere Konstruktionshilfsmittel

Kettenbrüche und das Wohltemperierte Klavier

• Pflicht: Rationale Bestapproximation [Arnold, Geometrical methods, 3.11.L; Hindemith, Komponist in seiner Welt]
• Kür: [John Wallis, Christiaan Huygens, Leonhard Euler, Johan Heinrich Lambert, ..., Carl Friedrich Gauß, ...] Konstruktion, Konvergenz, Approximationsgüte und Koeffizientenwachstum, Resonanzen und Musik, Quinte, log 2 / log 3, chromatische Tonleiter, andere Stimmsysteme

Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt

• Pflicht: Exponentialansatz Arnold, Gewöhnliche Dgl., 3.17.3, 3.25.5]
• Kür: [Plato, Euklid, ..., Leonardo Pisano] 2-Term-Rekursionen, Matrix-Iteration, Jordansche Normalform und Exponentialansatz, Blüten, Tannenzapfen, Kakteen, Zeckendorf-Theorem, Goldener Schnitt als irrationales Verhältnis der Fibonacci-Zahlen, mit Zirkel und Lineal, im 5-Eck, als Kettenbruch

Anosovs Katzenabbildung und der Schmetterlingseffekt

• Pflicht: [Behrends/Fiedler, Einleitung; Arnold, Geometrical methods, 3.13]
• Kür: [Henri Poincaré, ..., Edward Lorenz, Dmitri Anosov, James Yorke] Anosov-Diffeomorphismus, Torus, Schmetterlingseffekt, rationales Gitter und periodische Orbits, stabile und instabile Fasern, dichte Menge homokliner Punkte, Chaos

Gauss und das arithmetisch-geometrische Mittel

• Pflicht: Integralsubstitution [Gauss; Folie; Königsberger, Kap.11 Aufgabe 23; auch Sury, 78-79]
• Kür: [John Landen, Joseph-Louis Lagrange, Carl Fiedrich Gauß, Adrien-Marie Legendre] Ellipsenbogen, Lemniskate, elliptische Integrale, Substitution, Fixpunkte, Quadratische Konvergenz, Berechnung von Pi

Potenzmittel und ihre Ungleichungen

• Pflicht: Definition, Grenzwerte, Monotonie [Wikipedia]
• Kür: [Augustin Louis Cauchy, George Pólya, Johan Ludwig Jensen] Arithmetisches vs. geometrisches Mittel, elementare Beweise, Potenzmittel, Konvexität, Jensensche Ungleichung, Monotonie, Grenzwerte, Verallgemeinerungen

Mercator und die Winkeltreue

• Pflicht: Warum Integral 1/cos? Wert des Integrals [Wikipedia; Mercator's projection; Katz, A History of Mathematics, Kapitel 10.2]
• Kür: [Gerardus Mercator] Projektionen der Kugel, Winkeltreue vs. Flächentreue, Loxodrome und Navigation

Die Kreiszahl und die Annäherungsversuche der Mathematiker

• Pflicht: Arcustangens-Reihe [Katz, A History of Mathematics, Kapitel 12.3]
• Kür: [..., Archimedes, ..., Nilakantha, Madhava, Francois Viète, Ludolph van Ceulen, Gottfried Wilhelm von Leibniz, James Gregory, Johann Heinrich Lambert, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, ...] Kreisvermessung, geometrische oder algebraische Definition, Approximationen, Quadratur des Kreises, Irrationalität, Transzendenz, Pi und das arithmetisch-geometrische Mittel, Pi und die Gamma-Funktion, Pi und E

Riemanns Zeta-Funktion und die Primzahlen

• Pflicht: Definition, Produktdarstellung [Riemann, 1. Seite; auch Stein/Shakarchi, ch. 6+7]
• Kür: [Leonhard Euler, Bernhard Riemann, Jacques Hadamard, Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, ...] Definition, Produktdarstellung, Divergenz der harmonischen Reihe, Abschätzung der Primzahl-Anzahl, Funktionalgleichung, Gamma-Funktion, Riemann-Vermutung

Das Kontinuum und die Transzendenz

• Pflicht: Liouville und Cantor [Dunham, The Calculus Gallery, Kapitel 8+11]
• Kür: [..., Euklid, ... Omar Khayyam, ..., Gottfried Wilhelm von Leibniz, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, Joseph Liouville, Georg Cantor, Richard Dedekind, Charles Hermite, Ferdinand von Lindemann, ...] Rationale, Irrationale, Transzendente, Polynome, rationale Approximierbarkeit, Kettenbrüche, Liouvilles Konstruktion, Cantors Zählung, Goldener Schnitt, arithmetisch-geometrisches Mittel, Pi, E, ln 2

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