Sommersemester 2018

Seminar Geschichte(n) der Dynamik

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Isabelle Schneider

Termine

Mittwoch 10.00-12.00, Seminarraum 130/A3

Vorbesprechung und Themenvergabe am 18.4. um 10:15.

Beschreibung

Parallel zur Vorlesung ``Dynamische Systeme 1'' wollen wir in diesem Seminar der ein oder anderen Perle der Dynamik nachspüren. Dabei werden wir uns größtenteils mit diskreten Dynamischen Systemen auseinandersetzen. Zum Schluss des Seminars wollen wir aber auch einen Einblick in Delay-Gleichungen bekommen, und die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zu gewöhnlichen Differentialgleichungen herausarbeiten.

Themen

Verzweigung ins Chaos: Periodenverdopplung und die logistische Abbildung

• Logistische Abbildung und Periodenverdoppelung (phänomenologisch und mit Computerexperimenten)
• Konjugation zur Tent-map für bestimmte Parameter
• Zusammenhang zu Kettenbrüchen
• Bemerkung: Es wird sich hier um zwei Vorträge handeln.
• Literatur: [1], [10], Collet und Eckmann, van Strien, Details folgen

Mehr Platz, mehr Unordnung: der Hénon-Attraktor

• Approximation des logistischen Flusses durch Euler und zentrale Differenzen
• Hénon-Abbildung als Interpolation beider Approximation
• Periodenverdopplung in der Hénon-Abbildung
• Computerexperimente
• Literatur: [7]

Anosovs Katzenabbildung und der Schmetterlingseffekt

• Die Katzenabbildung
• Periodische Orbits, Dichte Orbits
• Literatur: [3] Einleitung; [2] 3.13

Gauss und das arithmetisch-geometrische Mittel

• Definition und Integralsubstitution
• Literatur: Originaltext von Gauß, Königsberger Analysis 1, Kap.11 Aufgabe 25; [11], Notizen

Fraktale und gebrochene Dimensionen

• Was ist ein Fraktal? Beispiele
• Hausdorff-Maß, Hausdorff-Dimension mit Beispielen
• wenn Zeit: Vergleich mit Box-counting Dimension
• Literatur: [5], Notizen

Selbstähnliche Fraktale

• Auswahl aus Beispielen: Cantor-Menge, Sierpinski-Dreieck, Koch-Kurve
• Iterierte Funktionen-Systeme
• Literatur: [5], Notizen

Michael Crichton: the monster of Jurassic Park

• Konstruktion und Eigenschaften der Drachenkurve
• Literatur: [4], Übungsaufgabe und Notizen

Einführung in Delay-Gleichungen: Teil 1

• Beispiele für Delay-Gleichungen
• Was ist eine Lösung? In welchem Raum lebt sie?
• method of steps, Stetigkeit der Lösungen
• Literatur: [6,8,9]

Einführung in Delay-Gleichungen: Teil 2

• Stabilität von Lösungen
• exponentielle Lösungen und charakteristische Gleichung
• explizites Beispiel für die Existenz kleiner Lösungen
• Literatur: [6,8,9]

References

• [1] Kathleen T Alligood, Tim D Sauer, and James A Yorke. Chaos. Springer, 1996.
• [2] Vladimir Igorevich Arnold. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Vol. 250. Springer, 1983.
• [3] Ehrhard Behrends and Bernold Fiedler. “Periods of discretized linear Anosov maps”. In: Ergodic Theory and Dynamical Systems 18.2 (1998), pp. 331–341.
• [4] Michael Crichton. Jurassic park: A novel. Vol. 1. Ballantine Books, 1990.
• [5] Kenneth Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, 2004.
• [6] Jack K Hale. Theory of functional differential equations. Vol. 3. Springer, 1977.
• [7] Jack K Hale and Hüseyin Koçak. Dynamics and bifurcations. Vol. 3. Springer Science & Business Media, 2012.
• [8] Jack K Hale and Sjoerd M Verduyn Lunel. Introduction to functional differential equations. Vol. 99. Springer Science & Business Media, 1993.
• [9] Hal L Smith. An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences. Vol. 57. Springer New York, 2011.
• [10] Steven H Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. Hachette UK, 2001.
• [11] B Sury. “The arithmetico-geometric mean of Gauss”. In: Resonance 5.8 (2000), pp. 72– 83.