Wintersemester 2018/2019

Seminar Geschichte(n) der Dynamik

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Isabelle Schneider

Termine

Mittwoch 10.00-12.00, Seminarraum 130/A3

Vorbesprechung und Themenvergabe am Mittwoch, den 17. Oktober 2018

Beschreibung

Parallel zur Vorlesung ``Dynamische Systeme 2'' wollen wir in diesem Seminar der ein oder anderen Perle der Dynamik nachspüren. Dazu beschäftigen wir uns zunächst mit Chaos in diskreten Systemen, lernen die Turing-Instabilität kennen, und folgen immer den kürzesten Wegen, beschäftigen uns mit periodischen Orbits, Stabilität; und Bifurkationen, um dann zum Schluß zum Thema Chaos zurückzukehren, dieses Mal aus der Perspektive von Differentialgleichungen.
Viel Spaß!

Themen

Verzweigung ins Chaos: Periodenverdopplung und die logistische Abbildung

• Logistische Abbildung und Periodenverdoppelung (phänomenologisch, mit Computerexperimenten und analytisch)
• Feigenbaum-KOnstante
• eventuell: Konjugation zur Tent-map für bestimmte Parameter
• Literatur: [1], [23],[5], [12] 3.2-3.5;[13],[7], Notizen

Three's a crowd: Periode 3 impliziert Chaos

• Intervall-Inklusion, Modelle gerichteter Graphen, Periode 3 impliziert jede minimale Periode
• eventuell: Sharkovsky-Sequenz
• Literatur: [4], [7], Notizen

Mehr Platz, mehr Unordnung: der Hénon-Attraktor

• Approximation des logistischen Flusses durch Euler und zentrale Differenzen, Heacute;non-Abbildung als Interpolation beider Approximationen
• Saddle-Node und Periodenverdopplung in der Hénon-Abbildung, Computerexperimente
• Literatur: [12], [23]

Romeo und Julia: Turing-Instabilität in der Liebe

• Stabilität / Instabilität durch Kopplung in iterierten Systemen
• Ausblick auf Turing-Instabilität bei partiellen Differentialgleichungen
• Literatur: [8]

Lagrange und Hamilton: Die Physik des kürzesten Weges

• Hamiltonsches Prinzip, Lagrange-Gleichungen
• Anwendungen, z.B. auf die Kepler-Gleichungen, Brachistochrone
• Literatur: [20], [18]

Immer der Nase nach: der geodätische Fluss

• Anosov-Abbildung, Anosov-Fluss, Lobachevsky-Ebene/Poincaré-Kreisscheibe, geodätischer Fluss, Grenzkreise
• eventuell: Strukturelle Stabilität, Hyperbolizität, stabile/instabile Mannigfaltigkeiten
• Literatur: [3] 3.14D, 3.13-3.14, [16]

Alle Jahre wieder: Periodische Orbits bei der Ausbreitung von Krankheiten

• Modell-Gleichung
• Theorem und Beweis von Satz 1 [6]
• Biologische Konsequenzen
• Literatur: [6], [22]

Pyragas Kontrolle: Zeitverzögerte Stabilisierung von periodischen Orbits

• Konzept der Pyragas-Kontrolle
• Stabilisierung nahe Hopf-Bifurkation
• Literatur: [10], [9]. [15], [21]

Hals über Kopf ins Gleichgewicht: das angeregte, umgekehrte Pendel

• Poincaré Abbildung, Stabilität, Schaukel, angeregtes inverses Pendel
• Wenn noch Zeit bleibt: Averaging, Resonanzen
• Literatur: [2] 3.28, [19], [11], Notizen

Die Cusp - Katastrophe, Insekten und Maschinen

• Geometrie der Cusp - Katastrophe, Normalform
• Anwendungen, z.B. auf Insekten-Ausbruch und/oder Zeeman Catastrophe Machine
• Literatur: [23], [12], [17], Notizen

Chaos beim Wetter: Die Lorenz-Gleichungen

• allgemeine Eigenschaften (Fixpunkte und Stabilität)
• Chaos im Lorenz-Attraktor
• Literatur: [14], [23], [12], [11], [1]

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References

• [1] Kathleen T Alligood, Tim D Sauer, and James A Yorke. Chaos. Springer, 1996.
• [2]Vladimir I. Arnold. Ordinary Differential Equations. Springer, 1992.
• [3] Vladimir Igorevich Arnold. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Vol. 250. Springer, 1983.
• [4] Keith Burns and Boris Hasselblatt. "The Sharkovsky theorem: A natural direct proof". In: The American Mathematical Monthly 118.3 (2011), pp. 229–244.
• [5] Pierre Collet and J-P Eckmann. Iterated maps on the interval as dynamical systems. Springer Science & Business Media, 2009.
• [6] Kenneth L Cooke and James L Kaplan. "A periodicity threshold theorem for epidemics and population growth". In: Mathematical Biosciences 31.1 (1976), pp. 87–104.
• [7] Robert Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. Westview press, 2008.
• [8] Bernold Fiedler. "Romeo and Juliet, Spontaneous Pattern Formation, and Turing’s Instability". In: Mathematics Everywhere (2010), p. 53.
• [9] Bernold Fiedler et al. "Beyond the odd number limitation of time-delayed feedback control". In: Handbook of chaos control. John Wiley & Sons, 2008, pp. 73–84.
• [10] Bernold Fiedler et al. "Refuting the odd-number limitation of time-delayed feedback control". In: Physical Review Letters 98.11 (2007), p. 114101.
• [11] John Guckenheimer and Philip Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Vol. 42. Springer Science & Business Media, 1983.
• [12] Jack K Hale and Hüseyin Koçak. Dynamics and bifurcations. Vol. 3. Springer Science & Business Media, 2012.
• [13] Boris Hasselblatt and Anatole Katok. A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge University Press, 2003.
• [14] Morris W Hirsch, Stephen Smale, and Robert L Devaney. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Academic press, 2012.
• [15] W Just et al. "Beyond the odd number limitation: a bifurcation analysis of time-delayed feedback control". In: Physical Review E 76.2 (2007), p. 026210.
• [16] Anatole Katok and Boris Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Vol. 54. Cambridge University Press, 1997.
• [17] Yuri A Kuznetsov. Elements of applied bifurcation theory. Vol. 112. Springer Science & Business Media, 2013.
• [18] Christian B Lang and Norbert Pucker. Mathematische Methoden in der Physik. Vol. 2. Springer, 2005.
• [19] Wilhelm Magnus and Stanley Winkler. Hill’s equation. Interscience, 1966.
• [20] Wolfgang Nolting. Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik. Springer- Verlag, 2014.
• [21] Kestutis Pyragas. "Continuous control of chaos by self-controlling feedback". In: Physics Letters A 170.6 (1992), pp. 421–428.
• [22] Hal L Smith. "On periodic solutions of a delay integral equation modelling epidemics". In: Journal of Mathematical Biology 4.1 (1977), pp. 69–80.
• [23] Steven H Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. Hachette UK, 2001.
Weitere Literatur wird entweder den Vortragenden direkt mitgeteilt oder über die Website bekannt gegeben.