Übungen vom 25.10.99

1.

Skizziere die Graphen der Lösungen (Integralkurven) der Vektorfelder:

a)

$v(x,t)=\frac{x-3t}{t+3x}$

b)

$v(x,t)=t-e^x$

2 Punkte

2.

Man gebe die Differentialgleichungen für die folgenden Kurvenscharen an:

a)

$x^2+Cy^2=2y$

b)

$y^2+Cx=x^3$

2 Punkte

3.

Sei $A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$ eine $n\times n$-Diagonalmatrix ($a_{ij}=0$ für $i\ne j$) mit $a_{ii}\ne 0$ für $1\le i\le n$. Dann ist der Lösungsraum (die Menge aller Integralkurven) von Gleichungen der Form $x'=Ax$ ein $n$-dimensionaler linearer Raum.

4 Punkte

4.

Sei $v\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ stetig. Dann ist jede Integralkurve $x(t)$ für

$$\frac{d}{dt}x(t)=v(x(t))$$

eine monotone Funktion.

4 Punkte