Übungen vom 24.1.00

1.

Sei $v$ ein $C^r$ Vektorfeld mit hyperbolischer Ruhelage 0. Man zeige, daß es zu jedem $n\in \mathbb{N}$ eine Umgebung $U(0)$ gibt, so daß

$$U(0)\cap\{\gamma : \gamma$$ ist periodisch mit Periode $$<n\}=\emptyset .$$

4 Punkte

2.

Sei $\rho\colon M\to \mathbb{R}^+$ eine Funktion mit $0<\rho(x)<\infty$. Dann ist jedes Vektorfeld $v$ äquivalent zu $\rho\cdot v$.

2 Punkte

3.

Sei $v=$grad$f$, wobei $f\colon M\to \mathbb{R}$ eine $C^r$ Funktion ist. Falls $p$ eine Ruhelage für $\dot x=v(x)$ ist, sind alle eigenwerte der Linearisierung in $p$ reell.

3 Punkte

4.

Ein $C^r$ Diffeomorphismus, der strukturell stabil ist, hat nur hyperbolische Ruhelagen.

3 Punkte