Übungen vom 31.1.00

1.

Sei $v$ ein $C^r$-Vektorfeld mit einer periodischen Trajektorie. Dann ist die Zeit-1-Abbildung $x_v(\cdot,1)$ nicht strukturell stabil.

3 Punkte

2.

Man zeige oder widerlege die folgenden Aussagen:

a)

Falls für eine hyperbolische Ruhelage $p$ gilt, daß $x_v(x^0,t)\cap W^s(p)\ne\emptyset$, dann ist $x_v(x^0,s)\in W^s(p)$ für alle $s\in \mathbb{R}$.

b)

Für zwei verschiedene hyperbolische Ruhelagen $p,q$ gilt $W^s(p)\cap W^s(q)=\emptyset$.

c)

Für zwei verschiedene hyperbolische Ruhelagen $p,q$ gilt $W^s(p)\cap W^u(q)=\emptyset$.

d)

Für eine hyperbolische Ruhelagen $p$ gilt $W^s(p)\cap W^u(p)=\emptyset$

e)

Für eine hyperbolische Ruhelagen $p$ gilt $W^s(p)\ne W^u(p)$.

5 Punkte

3.

Sei $v$ ein $C^r$-Vektorfeld auf $S^2$, daß nur endlich viele Ruhelagen besitzt. Seien weiterhin alle diese Ruhelagen hyperbolisch und die $\alpha$- bzw. $\omega$-Limesmengen einer jeden Trajektorie bestehen aus jeweils einer Ruhelage. Dann besitzt $v$ sowohl eine Quelle, als auch eine Senke.

5 Punkte