Übungen vom 8.1..99

1.

Löse die folgende Gleichung (a) oder b)), indem man sie durch die lineare Transformation $z=at+bx$ zu einer Gleichung mit trennbaren Variablen umwandelt:

a)

$\dot x=x+2t-3$

b)

$\dot x=\sqrt{4t+2x-1}$

2 Punkte

2.

Löse die folgende Gleichung (a) oder b)), indem man sie durch die Transformation $x=\omega t$ zu einer Gleichung mit trennbaren Variablen umwandelt:

a)

$(t+2x)\,dt-t\,dx=0$

b)

$(t-x)\,dt+(t+x)\,dx$

2 Punkte

3.

Auf welchem Gebiet der $x,y$ - Ebene geht durch jeden Punkt genau eine Lösung der Gleichung

$$y'=2xy+y^2$$   ?$$$$

3 Punkte

4.

Für die parameterabhängige Differentialgleichung

$$\dot x=x^2+2\mu t^{-1}\qquad x(1)=-1$$

ist eine Näherungsformel der Form

$$x(t)=w_0(t)+\mu w_1(t)+\mu^2 w_2(t)+o(\mu^2)\cdot w(t)$$

gesucht. Man begründe kurz (kein vollständiger Beweis!), daß eine Lösung dieser Form existiert und finde die Funktionen $w_i(t)$, $i=0,1,2$ durch Einsetzen und Vergleich der Koeffizienten der Potenzen von $\mu$.

4Punkte