\documentclass{amsart}
\begin{document}

\centerline{{\bf \"Ubungen vom 8.1..99}}
\bigskip\bigskip

\begin{itemize}
\item[1.] L\"ose die folgende Gleichung (a) oder b)), indem man sie durch die
  lineare Transformation $z=at+bx$ zu einer Gleichung mit trennbaren Variablen
  umwandelt:\\
\bigskip
\begin{itemize}
\item[a)] $\dot x=x+2t-3$
\item[b)] $\dot x=\sqrt{4t+2x-1}$
\end{itemize}
\vspace{5mm}
{\bf 2 Punkte}\\
\bigskip\bigskip

\item[2.] L\"ose die folgende Gleichung (a) oder b)), indem man sie durch die
  Transformation $x=\omega t$ zu einer Gleichung mit trennbaren Variablen
  umwandelt:\\
\bigskip
\begin{itemize}
\item[a)] $(t+2x)\,dt-t\,dx=0$
\item[b)] $(t-x)\,dt+(t+x)\,dx$
\end{itemize}
\vspace{5mm}
{\bf 2 Punkte}\\
\bigskip\bigskip
\item[3.] Auf welchem Gebiet der $x,y$ -- Ebene geht durch jeden Punkt genau
  eine L\"osung der Gleichung
\[
y'=2xy+y^2\quad\text{?}
\]
\vspace{5mm}
{\bf 3 Punkte}\\
\bigskip\bigskip
\item[4.] F\"ur die parameterabh\"angige Differentialgleichung
\[
\dot x=x^2+2\mu t^{-1}\qquad x(1)=-1
\]
ist eine N\"aherungsformel der Form
\[
x(t)=w_0(t)+\mu w_1(t)+\mu^2 w_2(t)+o(\mu^2)\cdot w(t)
\]
gesucht. Man begr\"unde kurz (kein vollst\"andiger Beweis!), da{\ss} eine
L\"osung dieser Form existiert und finde die Funktionen $w_i(t)$, $i=0,1,2$
durch Einsetzen und Vergleich der Koeffizienten der Potenzen von $\mu$.\\

\vspace{5mm}
{\bf 4Punkte}

\end{itemize}

\end{document}







