Übungen vom 29.11.99

1.

Löse die folgende Gleichung (a) oder b)) durch Substitution $\dot x=z(x)$:

a)

$\dot x^2+2x\ddot x=0$

b)

$x^3\ddot x=1$

2 Punkte

2.

Welche der folgenden Eigenschaften linearer Operatoren sind generisch?:

a)

$\det A\ne 0$

b)

$tr(A)\in \mathbb{Q}$

c)

$\vert\lambda\vert\ne 0$ für alle Eigenwerte

d)

$A$ ist eine $2\times 2$ -Matrix. Es gibt einen nicht-reellen Eigenwert.

e)

$A$ ist eine $3\times 3$ -Matrix. Es gibt einen nicht-reellen Eigenwert.

f)

Es gibt keine periodische Trajektorie für das System $\dot x=Ax$.

g)

$Ax\ne x$ und $Ax\ne -x$ für alle vektoren $x$

5 Punkte

3.

Eine Liouville-Zahl ist eine reelle Zahl, die sich besonders gut durch rationale Zahlen annähern läßt: Für alle positiven Zahlen $n$ hat die Ungleichung

$$\vert x-\frac{p}{q}\vert<q^{-n}$$

unendliche viele Lösungen in teilerfremden ganzen Zahlen $p,q$. Ist es generisch eine Liouville-Zahl zu sein?

Zusatzfrage: Wie groß ist das Lebesgue-Maß der Liouville-Zahlen im Einheitsintervall?


3+3 Punkte
Tip: Vereinige und schneide folgende Intervalle geschickt, um die Menge der Liouville Zahlen darzustellen:

$$\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)$$