Übungen vom 10.1.00



1.
Sei $ M$ offen in $ \mathbb{R}^n$, $ f\colon M\to M$ stetig differenzierbar, $ F(p)=p$ und $ Df(p)$ habe nur Eigenwerte vom Betrag kleiner 1. Dann gibt es eine Umgebeung $ U$ von $ p$ mit:

$\displaystyle f^k(x)\in U$   für alle $ x\in U$$\displaystyle $

und

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}f^k(x)=p. $



3 Punkte



2.
Für welche Parameter ist die Nullösung stabil?

$\displaystyle \dot x$ $\displaystyle =ax-2y+x^2$    
$\displaystyle \dot y$ $\displaystyle =x+y+xy$    



5 Punkte



3.
Man untersuche mit Hilfe einer Lyapunovfunktion die Stabilität von

$\displaystyle \dot x$ $\displaystyle =xy-x^3+y^3$    
$\displaystyle \dot y$ $\displaystyle =x^2-y^3$    




3 Punkte

4.
Dir Nullösung heißt schwach stabil, falls es für alle Umgebungen $ U(0)\subset \mathbb{R}^m$ eine Umgebung $ V(0)\subset U(0)$ gibt, so daß für alle $ x_0\in V(0)$ und für alle positiven Zeiten $ x(x_0,t)\in U(0)$.

Man zeige, daß für die lineare Gleichung $ \dot x=A\cdot x$, wobei alle Eigenwete von $ A$ einen verschwindenden Realteil haben, die Nullösung niemals asymptotisch stabil ist, aber schwach stabil ist, genau dann, wenn $ A$ diagonalisierbar ist.



4 Punkte



Jens Rademacher
2000-01-13