Übungen vom 17.1.00

1.

Sei $f\colon U(p)\to \mathbb{R}$ eine $C^1$-Funktion, $\dot x=v(x)$, $v(p)=0$. Angenommen $f(p)=0$, $\frac{d}{dt} f(x(t))>0$ auf $U\setminus\{p\}$ und es existiere eine Folge $x_n\to p$ mit $f(x_n)>0$. Dann ist $p$ instabil.

2 Punkte

2.

Seien $v(x)=A\cdot x$, $w(x)=B\cdot x$ lineare Vektorfelder auf $\mathbb{R}^m$. Sei $h$ eine $C^1$-Äquivalenz (muß nicht die Zeit erhalten) zwischen ihnen. Dann sind die Eigenwerte von $A$ und $B$ proportional.

2 Punkte

3.

Gibt es ein Vektorfeld auf $S^2$ mit unendlich vielen Ruhelagen und alle Ruhelagen sind hyperbolisch?

3 Punkte

4.

Sei $f\colon M\to M$ eine Abbildung (nicht notwendigerweise invertierbar). Ein Punkt $p\in M$ heißt periodisch, falls es ein $n\in \mathbb{N}$ gibt mit $f^n(p)=p$. Kann es eine glatte Abbildung geben, deren Linearisierung im Fixpunkt $q=f(q)$ hyperbolisch ist und $q$ gleichzeitig Häufungspunkt periodischer Punkte ist?

5 Punkte