Sommer 2015

V 19216701: Projektive Geometrie

Termine

Vorlesung:: Donnerstag, 10-12, Arnimallee 7, Hinterhaus, SR 140
Übungen:: Mittwoch, 14-16, Arnimallee 7, Hinterhaus, Raum 135

Vorlesung im Vorlesungsverzeichnis der FUB

Inhalt

In der Kunst wurde die Perspektive in der Frührenaissance entdeckt, um Tiefenwirkung zu erzielen. Vorreiter wie Giotto di Bondone bemühten sich noch mit wechselndem Erfolg. Die Filippo Brunelleschi zugeschriebenen konstruktiven Prinzipien der Perspektive lösten einen regelrechten «Hype» in der Malerei aus. Perspektivische Darstellungen unterschiedlicher Komplexität finden sich neben vielen anderen bei Leonardo da Vinci (Verkündigung), Albrecht Dürer (Der heilige Hieronymus) und Raffael (Vermählung Mariä).

In der Geometrie quälten sich die Mathematiker in den zwei Jahrtausenden nach Euklid mit der Frage, ob durch einen gegebenen Punkt wirklich nur eine Parallele gehen kann. Als János Bolyai, Nikolai Lobatschewski und Carl Friedrich Gauß unabhänging voneinander endlich die Antwort in Form der nichteuklidischen Geometrien fanden, wurden sie jedoch weitgehend ignoriert oder gingen mit ihren Ideen erst gar nicht an die Öffentlichkeit.

Arthur Cayley und Felix Klein verdanken wir schließlich die Einbettung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrien als Modelle der projektiven Geometrie. Dadurch gestattet der projektive Raum einen einheitlichen Zugang zu den verschiedenen Geometrien. Das kann unserer Intuition eine große Hilfe sein, wenn wir Fragen z.B. der Differentialgeometrie, Dynamik oder Kosmologie studieren.

Um die Sachverhalte noch zeichnerisch darstellen zu können, wird sich die Vorlesung weitestgehend auf die (reelle) projektive Ebene beschränken und damit beschäftigen, was man dort mit Kegelschnitten so alles anfangen kann. Hier zeigt sich die durch den projektiven Zugang erreichbare Klarheit auf besonders beeindruckende Weise. Die Vorlesung wird unter anderem aufzeigen, dass/wie man Geometrie betreiben kann, ohne zu messen. Auch wollen wir verstehen, inwiefern die euklidische Ebene — also unsere übliche geometrische Vorstellungswelt — ein singulärer Grenzfall (unter den Cayley-Klein Geometrien) ist und wie uns das helfen kann, geometrische Sachverhalte zu verstehen.

In der Tat wird auf der projektiven Ebene eine Geometrie gewählt, indem ein absoluter Kegelschnitt als Menge der unendlich fernen Punkte ausgezeichnet wird. (Der absolute Kegelschnitt der euklidischen Ebene degeneriert dabei zu einer Doppelgeraden — dem Horizont.) Eigenschaften von Kegelschnitten — z.B. ihre Brennpunkte oder die Eigenschaft, ein Kreis zu sein, — weden so zu Relationen zwischen Kegelschnitten.

Dies kann auch eindrucksvoll am Computer dargestellt werden. So finden wir z.B.

das vollständige Viereck als fundamentale Konstruktion der projektiven Geometrie,
die Brennpunkte zweier Kegelschnitte als Ecken des vollständigen Vierseits ihrer gemeinsamen Tangenten,
Bündel und duale Bündel von Kegelschnitten, Kreisen und Horozyklen

und schließlich

einen animierten Rundkurs durch die Geometrien.

Zielgruppe

Studierenden der Mathematik eröffnet die projektive Geometrie die Chance, fundamentale Sachverhalte der Differentialgeometrie, Dynamik und Kosmologie an einem interessanten, nichttrivialen Beispiel zu verstehen, das aber trotzdem noch der geometrischen Anschauung zugänglich ist.

Motivierten Lehramtsstudierenden sollten hier viele Überraschungen begegnen, die (nicht nur) Schüler begeistern können. Die projektive Geometrie wird zwar auch in der allgemeinen Geometrie-Vorlesung angesprochen, für die hier verfolgte Sichtweise bleibt dort aber in der Regel keine Zeit.

Studierende der Informatik interessieren sich außerdem vielleicht für Möglichkeiten und Schwierigkeiten, die projektive Ebene als Javascript-Anwendung umzusetzen. Insbesondere zeigt sich hier, dass die direkte Nutzung der Grafikkarte im Web-Browser nicht nur den Online-Ego-Shootern nutzt.

Vorkenntnisse

Lineare Algebra, (Elementar-)Geometrie

Literatur

J. Richter-Gebert. Perspectives on projective geometry. A guided tour through real and complex geometry. Springer, Berlin, 2011.
L. Russo. Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens. Springer, Berlin, 2005.
D.-E. Liebscher. Einsteins Relativitätstheorie und die Geometrien der Ebene. Illustrationen zum Wechselspiel von Geometrie und Physik. Teubner, Stuttgart, 1999.
A. Beutelspacher, U. Rosenbaum. Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen. Vieweg, Braunschweig, 2nd edition, 2004.
H. Coxeter. Projective geometry. Springer, New York, 2nd edition, 1987.

Übungen

siehe Vorlesungsskript