Sommersemester 2002

V 19089: Dynamische Systeme II

Dr. Jörg Härterich

Übungen: Dr. Stefan Liebscher

Termine

Vorlesung:

Di/Do 10-12, Arnimallee 2-6, SR 007/008

Übungen:

Mo 8:30-10:00, Arnimallee 2-6, Seminarraum 009

Inhalt

Dynamische Systeme spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Angewandten Mathematik und der Naturwissenschaften. Die Vorlesung soll dazu dienen, die wichtigsten Begriffe und Methoden aus diesem aktuellen Teilgebiet der Mathematik kennenzulernen. Sie wird im wesentlichen aus zwei großen Themenbereichen bestehen:

1. Komplizierte Dynamik: In diesem Abschnitt geht es darum, wie man komplizierte Dynamik ("Chaos") überhaupt beschreiben kann. Beginnen werden wir mit Intervallabbildungen, an denen sich bereits viele Aspekte (symbolische Dynamik, Attraktoren, strukturelle Stabilität, ...) studieren lassen. Anschließend werden wir uns etwas abstrakter mit Hyperbolizität und den Grundbegriffen der Ergodentheorie (invariante Maße, Lyapunov-Exponenten, ...) beschäftigen.
2. Verzweigungen: Besonders wichtig ist es, Änderungen im qualitativen Verhalten von dynamischen Systemen zu verstehen. Zu diesem Zweck werden wir Zentrumsmannigfaltigkeiten und Normalformen kennenlernen, und mit diesen Hilfsmitteln verschiedene Verzweigungen von Ruhelagen und periodischen Lösungen finden.

Gegen Ende der Vorlesung werden wir dann sehen, wie die beiden Themenkomplexe zusammenhängen und wie durch globale Verzweigungen komplizierte Dynamik entstehen kann (Hufeisen, Shilnikov-Chaos, ...).

In den Übungen werden wir neben den Aufgaben zur Theorie auch lernen, mit Computerprogrammen (MATLAB, dstool) umzugehen, die Dynamische Systeme simulieren und deren Lösungen graphisch darstellen.

Literatur:

• V.I.Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Springer, (1983).
• R.L.Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems, Perseus Books, (1989).
• J.Guckenheimer, P.Holmes: Nonlinear Oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Springer, (1983).
• G.Iooss, M.Adelmeyer: Topics in bifurcation theory and application, World Scientific, (1992).
• A.Katok, B.Hasselblatt: Dynamics: A First Course, Manuskript, (2001).
• A.Katok, B.Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press (1995).
• Y.Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer Verlag (1995).
• W.de Melo, S.van Strien: One-dimensional dynamics, Birkhäuser (1993).

Skripte:

Ein Skript zu einzelnen Kapiteln der Vorlesung gibt es hier. Kommentare sind erwünscht. Eine kurze Einführung zu DSTOOL gibt es hier: (Postscript), (PDF).

Übungsblätter:

(Die Übungsblätter sind als Postscript-Dateien abgelegt und können durch Mausklick geladen werden. Drucken geht dann im Mathegebäude mit dem Befehl "lpr ds1.ps", etc. Netscape startet evtl. auch gleich das Programm Ghostview und zeigt die Grafik an. Gedruckt werden kann dann aus dem Menü heraus. PDF-Dateien können mit dem Acrobat Reader betrachtet werden.