Winter 2009/2010

V 19006: Analysis III

Termine

Vorlesung:: Dienstag & Donnerstag, 10-12, Arnimallee 3, HS 001
Übungsgruppen:: Montag, 14-16, Arnimallee 6, SR 032 (Stefan Liebscher); Mittwoch, 14-16, Arnimallee 3, SR 119 (Bernhard Brehm); Freitag, 12-14, Arnimallee 6, SR 032 (Stefan Liebscher)
Klausur/Nachklausur:: Dienstag, 9. Februar 2010, 10-12; Mittwoch, 21. April 2010, 16-18; Ergebnisse

Wie lautet der Binomische Lehrsatz?
Beweise damit die folgende Identität:
Die Summe der Binomialkoeffizienten (n über k) für k von 0 bis n beträgt 2ⁿ.

Inhalt

Die Analysis ist eine der beiden wesentlichen Einführungsvorlesungen der Mathematik. Im Vorlesungszyklus Analysis I-III geht es um vollständige Induktion, Konvergenz, Folgen und Reihen, Kompaktheit, Differentiation und Integration, Transformationssätze, Sätze über implizite Funktionen und vieles mehr. Das ist Handwerkszeug, ohne das kein Mathematiker auskommt. Wirklich erlernt wird das Handwerk aber erst durch das Lösen der Übungsaufgaben und den Besuch der Gruppen!

Die Vorlesung Analysis III ist die abschlie�ende Vorlesung aus dem Zyklus Analysis I-III. Behandelt werden Differentiation und Integration im Rⁿ, Extrema mit und ohne Nebenbedingungen, Integration auf Fl�chen, die Integrals�tze von Gau� und Stokes und vieles mehr. Diese Grundlagen sind f�r ein erfolgreiches Mathematikstudium unverzichtbar.

Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen?

Literatur

H. Amann, J. Escher: Analysis III, Birkhäuser Verlag, 1998
R. Courant: Vorlesungen und Differential- und Integralrechnung, Springer, 1984
J. Dieudonne: Grundzüge der modernen Analysis, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1972
O. Forster: Analysis 3, Vieweg, Wiesbaden, 1983
H. Grauert, I. Lieb: Differential- und Integralrechnung 3, Springer Verlag, 1977
H. Heuser: Lehrbuch der Analysis II, Teubner, Stuttgart, 1984
S. Hildebrandt: Analysis 2, Springer Verlag, 2002
K. Königsberger: Analysis 2, Springer Verlag, 1990
S. Lang: Analysis, Inter European Editions, Amsterdam, 1977
E.H. Lieb, H. Loss: Analysis, 2nd ed., American Math. Soc., Providence, 2001
W. Rudin: Analysis, Oldenbourg Verlag, München, 1998
W. Walter: Analysis II, Springer Verlag, 1992

und für geschichtlich Interessierte:

O. Becker: Grundlagen der Mathematik, Verlag Karl Alber, Freiburg, 1964
E. Hairer, G. Wanner: Analysis by its History, Springer, 2000
V.J. Katz: A History of Mathematics, Harper Collins, New York, 1993

Sei U eine konvexe Teilmende des Rⁿ. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: U → R richtig, welche falsch?
(a) Konvexe Funktionen sind stetig.
(b) Konvexe Funktionen sind im Inneren des Definitionsbereiches stetig.
(c) Konvexe Funktionen sind zweimal differenzierbar und haben in jedem Punkt eine positiv semidefinite zweite Ableitung.
(d) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) positiv semidefiniter Hesse-Matrix sind konvex.
(e) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) (strikt) positiv definiter Hesse-Matrix sind strikt konvex.
(f) Konvexe Funktionen nehmen ihr Minimum an.
(g) Konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten nehmen ihr Minimum an.
(h) Strikt konvexe Funktionen besitzen höchstens ein Minimum.
(i) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein lokales Minimum.
(j) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein Minimum.

Übungsblätter

freiwilliges Extrablatt aus dem vorigen Semester (PDF)

Blatt, Abgabe am 22.10.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 29.10.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 05.11.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 12.11.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 19.11.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 25.11.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 02.12.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 09.12.2009 (PDF)
Blatt, Abgabe am 16.12.2009 (PDF)
komplett freiwilliges Blatt zum Fest, Abgabe am 06.01.2010 (PDF), Lösungen zählen zu den Ist- aber nicht den Soll-Punkten.
Blatt, Abgabe am 13.01.2010 (PDF)
Blatt, Abgabe am 20.01.2010 (PDF)
Blatt, Abgabe am 27.01.2010 (PDF)
Blatt, Abgabe am 02.02.2010 (PDF)
komplett freiwilliges Blatt zur Überbrückung der vorlesungsfreien Zeit (PDF)

Bitte auf den abgegebenen Zetteln das Tutorium (Mo/Mi/Fr) vermerken.

Für Interessierte gibt es auch eine statistische Auswertung.

Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren?

Kernfragen zur Vorlesung

Bitte auch die Kapitel 1 bis 7(i) aus der Analysis I/II nicht vergessen...

Kapitel "Zahlen" (PDF)
Kapitel "Folgen und Reihen" (PDF)
Kapitel "Stetigkeit" (PDF)
Kapitel "Differentiation" (PDF)
Kapitel "Integration" (PDF)
Kapitel "Metrische Räume" (PDF)
Kapitel "Differentiation im Banachraum" (Teil 1) (PDF)
sowie "Differentiation im Banachraum" (Teil 2) (PDF) (beide Teile Klausur-relevant)
Kapitel "Integration im Rⁿ" (PDF) (Klausur-relevant)
Kapitel "Mannigfaltigkeiten" (PDF) (Klausur-relevant)
Kapitel "Lebesgue-Integral" (PDF) (Klausur-relevant)