|
Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
Organization
Welcome Activities
Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was ist Vollständige Induktion? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Gib je zwei Beispiele an für Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet die Trapezregel? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was ist eine Regelfunktion? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was ist ein Maßtensor? Wie lautet der Satz von Stokes? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wo sind Potenzreihen stetig? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Was ist eine Metrik? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lautet der Satz von Baire? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Seien A und B Mengen. Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie integriert man rationale Funktionen? Was ist eine Potenzreihe? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lautet der Schrankensatz? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind uneigentliche Integrale? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? | |||
![]() |
|