Winter 2009/2010

203 Kernfragen der Analysis

Zum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge.

Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt.

Wie integriert man rationale Funktionen?
Welche elementaren Integrale muss man dazu kennen?

Sei U eine konvexe Teilmende des Rⁿ. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: U → R richtig, welche falsch?
(a) Konvexe Funktionen sind stetig.
(b) Konvexe Funktionen sind im Inneren des Definitionsbereiches stetig.
(c) Konvexe Funktionen sind zweimal differenzierbar und haben in jedem Punkt eine positiv semidefinite zweite Ableitung.
(d) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) positiv semidefiniter Hesse-Matrix sind konvex.
(e) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) (strikt) positiv definiter Hesse-Matrix sind strikt konvex.
(f) Konvexe Funktionen nehmen ihr Minimum an.
(g) Konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten nehmen ihr Minimum an.
(h) Strikt konvexe Funktionen besitzen höchstens ein Minimum.
(i) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein lokales Minimum.
(j) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein Minimum.

Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: Rⁿ → R^m richtig, welche falsch?
(a) Partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig.
(b) Diffenzierbare Abbildungen sind stetig.
(c) Partiell differenzierbare, stetige Abbildungen sind differenzierbar.
(d) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind differenzierbar.
(e) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig differenzierbar.

Was ist eine Regelfunktion?
Welche äquivalenten Charakteriesierungen gibt es (wenigstens 2)?

Wann existiert die Inverse f^-1 einer stetigen Funktion f: [a,b] → R ?
Wann ist die Inverse stetig?

Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem Punkt x₀ differenzierbar?
Wie lässt sich die Ableitung geometisch interpretieren?

Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend?
Gib außerdem je ein Beispiel eines zusammenhängenden und eines nicht zusammenhängenden Raumes!

Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt ein metrischer Raum total unzusammenhängend?

Was sind uneigentliche Integrale?

Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g?

Was sind Lebesgue-Nullmengen?
Gib wenigstens zwei verschiedene Charakterisierungen an!

Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist.

Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren?

Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.)

Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge?
Beweise!

Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)ⁿ und (1+1/n)ⁿ⁺¹ ?

Was ist eine rekursiv definierte Folge?
Gib Beispiele an.

Für welche komplexen q existiert die Summe der Potenzen qⁿ über alle natürlichen n?
Welchen Wert hat die Summe?

Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
∑ 1 / n,     ∑ (-1)ⁿ / n,     ∑ (-1)ⁿ / n²,     ∑ xⁿ / (n!) mit komplexem x.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n+1)/2.

Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen Zahlen R (mit deren Standardmetrik)?
Z,     Q,     (1/2,1) ∪ (1/3,1/2) ∪ (1/4,1/3) ∪ (1/5,1/4) ∪ ....

Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen?

Wann ist ein metrischer Raum kompakt?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!
Gib außerdem je ein Beispiel eines kompakten und eines nicht kompakten Raumes!

Wann heißt ein metrischer Raum vollständig?

Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl?

Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren?

Was ist ein Atlas einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Für welche reellen α ist |x|^α in x=0 differenzierbar?

Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫₀^∞ f(t) dt ?

Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen?

Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige, reellwertige Funktionen definiert?
Warum ist sie tatsächlich eine Norm?

Wann heißen zwei Metriken äquivalent?

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß?

Seien A und B Mengen.
Wann nennt man eine Funktion f: A → B injektiv, wann surjektiv?

Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R, D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche, die ihr Supremum nicht annehmen.
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung nimmt eine stetige Funktion auf einer Menge D ihr Supremum an?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei 1 ≤ p < q < +∞.)
(a) Ist f in L^p beschränkt, so ist f in L^q.
(b) Ist f in L^q beschränkt, so ist f in L^p.
(c) Ist f in L^p und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^q.
(d) Ist f in L^q und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^p.

Wie lautet die Hölder-Ungleichung?

Welche Linearisierung hat die implizit durch x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1 gegebene Funktion x_n(x₁, ..., x_n-1): R^n-1 → R ?

Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ?

Wo sind Potenzreihen stetig?
Wo sind sie gleichmäßig stetig?

Wie hängen Integration und Differentiation zusammen?

Sei U die endliche Menge der Zahlen a₁, a₂, ..., a_N.
Gib eine Funktion f der reellen Zahlen in sich an, die auf U unstetig, auf dem Komplement von U aber stetig ist.

Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!

Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ?

Wie ist die allgemeine Potenz x^α für komplexe α und positive, reelle x definiert?

Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S² mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes!

Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf C_c⁰(R^N, R) gibt es?

Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen?
Wie berechnest Du speziell das Volumen der 3-dimensionalen Kugel?

Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie?

Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R → R wieder Intervalle?
Sind stetige Bilder offener Intervalle wieder offene Intervalle?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Wie sind Supremum und Infimum von A definiert?
Wann besitzt A ein Supremum?

Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in x=0 ?
sin(x) / x,     (cos(x) - 1) / x²,     log(1+x) / x,     x / (e^x - 1).

Wann nennt man eine Folge x_n reeller Zahlen konvergent und wann divergent?

Wie ist das Lebesgue-Integral definiert?

Wie sind Häufungswerte einer Folge x_n definiert?

Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig?

Was ist ein Dedekindscher Schnitt?
Was ist eine Intervallschachtelung?

Gib je zwei Beispiele an für
(a) Regelfunktionen und
(b) Funktionen, die keine Regelfunktionen sind.

Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist.

Wie hängen e^z, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen?

Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren? Welche konvergieren absolut?
∫₁^∞ sin(x) dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x² dx,
∫₁^∞ sin(x²) dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x² dx.

Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert?

Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?

Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar?
Wie lautet ihre Ableitung?

Wie ist der Raum BC¹(R,R) definiert?
Was bedeutet seine Vollständigkeit für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung einer Funktionenfolge f_n: R → R?

Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen?

Was ist eine Metrik?
Gib außerdem drei verschiedene Beispiele!

Wie lautet der Zwischenwertsatz?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen?

Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe?
Wie lautet sie?
Wie hängen die Konvergenzradien der Potenzreihen und ihres Produktes zusammen?

Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden?

Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rⁿ → R^m ?

Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R^l ausdrücken?

Was ist die Krümmung einer Kurve?

Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g?

Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert?

Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung?

Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent?

Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Wie lautet der Binomische Lehrsatz?
Beweise damit die folgende Identität:
Die Summe der Binomialkoeffizienten (n über k) für k von 0 bis n beträgt 2ⁿ.

Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W
elche (notwendige) Bedingung ist erfüllt, wenn f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum besitzt?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung besitzt f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum?

Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z?

Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an.

Wie kann man die Elemente in L¹ als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren?

Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum?

Wie lautet der Satz von Stokes?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig?

Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer 2π-periodischen Funktion f: R → C?
Wie lautet die Fourier-Reihe zu f?
In welchem Sinn und wogegen konvergiert die Fourier-Reihe?

Welche dieser Folgen konvergieren für n → ∞?
Was sind ggf. ihre Grenzwerte?
n² / (3 n - 2),     (3 n² - 2) / (2 n² + 3),     2ⁿ / (n!),     n^1/n,     q^1/n mit reellem q.

Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale?
Gib Beispiele
(a) absolut konvergenter;
(b) konvergenter aber nicht absolut konvergenter;
(c) nicht konvergenter
uneigentlicher Integrale.

Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ?

Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen?

Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig?

Wie sind die Banachräume L^p definiert?

Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Gib außerdem jeweils ein nichttriviales Beispiel an.

Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rⁿ → R kennst Du?

Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare Mengen?
Gib Beispiele an.

Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im R^N integrieren?

Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Warum gilt der Satz von Rolle?
Skizziere einen Beweis!

Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren folgende Funktionenfolgen gleichmäßig?
f_n(x) = 1 / (1 + n² x²),     f_n(x) = exp(-n x²),     f_n(x) = ∑ (-1)^k x^k, summiert über k von 0 bis n.

Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null?
Gib auch Beispiele an!
Sind rotationsfreie Vektorfelder Gradienten skalarer Funktionen?
Gib auch Beispiele an!

Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy?
Warum gilt es?

Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend?

Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung (global) Lipschitz-stetig?
Beweise!

Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in x₀=0 ?
(1+x)^α,     log(1+x).

Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi?
Warum gilt er?
Beweise!

Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli?

Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R konvex?
Wann heißt sie strikt konvex?

Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R ausdrücken?

Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Bestimme Infimum und Supremum von B.

Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt x₀ stetig?
Welche äquivalente Definitionen der Stetigkeit gibt es (wenigstens drei verschiedene)?

Was ist der Gradient der Abbildung f: Rⁿ\{0} → R, f(x) = ||x||^-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet?

Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln.

Wie lautet der Schrankensatz?
Warum gilt der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) nicht in höheren Dimensionen?

Was ist die Umkehrfunktion von exp(x).
Welche Funktionalgleichung erfüllt sie?
Wo ist sie definiert? Wo ist sie stetig?

Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz?

Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?

Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent?
Wann heißt sie Cauchy-Folge?

Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ?

Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert?

Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren?

Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen?

Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen?

Was ist eine "Zerlegung der Eins?"

Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)?
Wie lautet der Satz von Rolle?

Wie lauten die Regeln von de L'Hospital?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist f in Leb, so sind f⁺, f^- in Leb.
(b) Ist f in Leb, so ist |f| in Leb.
(c) Ist |f| in Leb, so ist f in Leb.
(d) Sind f,g in Leb, so sind max(f,g), min(f,g) in Leb.

Wie lautet der Satz von Baire?

Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R.

Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rⁿ charakterisieren?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist N eine Nullmenge, so ist N abzählbar.
(b) Ist N abzählbar, so ist N eine Nullmenge.
(c) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in N, so auch die Vereinigung.
(d) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in Q, so auch die Vereinigung.
(e) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in R, so auch die Vereinigung.
(f) Q ist eine Nullmenge in R.
(g) Ist N eine Nullmenge in Rⁿ und φ in Lip(Rⁿ, Rⁿ), so ist φ(N) eine Nullmenge.

Warum konvergiert die Reihe ∑ k^-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ?

Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum?

Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert?

Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden?

Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b?

Was sind halbstetige Funktionen?

Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig stetig?
|x|,     exp(x),     x²,     sin(x),     (x³ + 1) / (x⁴ - 1),     [x] - x.
Hierbei bezeichnet die Gauß-Klammer, [x], die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen?

Wie lautet der Satz von Gauß?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht?

Wie lautet das n-te Taylor-Polynom?
Wie kann das Restglied ausgedrückt werden?

Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen?

Wie lautet das Wohlordnungsprinzip?

Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
e^x sin(x),     sin(x) / cos(x),     exp(-x²),     log((1+x)/(1-x)),     x^x.

Was versteht man unter einer Cantor-Menge?
Gib außerdem ein Beispiel an!

Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Was ist ein Maßtensor?
Was ist die Gramsche Determinante?
Wozu dient sie?

Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen?

Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt,     ∫ dx/x,     ∫ (x+1)^1/n dx,     ∫ dx/(1+x²),     ∫ x^α dx, für α ≠ -1.

Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal diferenzierbar.
Wie lassen sich Konvexität und strikte Konvexität durch Bedingungen an die zweite Ableitung ausdrücken?

Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt?

Wie lautet die Produktregel für Ableitungen?
Warum gilt sie?
Beweise!

Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind?

Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen?

Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)ⁿ + 1/n ?

Was ist eine Lebesgue-Nullmenge?

Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Gib ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.

Für welche reellen Exponenten α konvergiert das uneigentliche Integral
∫₀¹ x^α dx,
für welche das uneigentliche Integral
∫₁^∞ x^α dx?

Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert?

Was ist eine Potenzreihe?
Was ist ihr Konvergenzradius?
Wie berechnet er sich?

Was ist der Tangentialraum an eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N im Punkt x₀?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!
Was ein Normalenvektor?

Warum divergiert die harmonische Reihe?

Was bedeuten die Landau-Symbole o(h), O(h²) und o(1)?
Wie lassen sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit mit ihrer Hilfe ausdrücken?

Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k), und welche Rekursionsformel erfüllen sie?
Wie lässt sich die Rekursionsformel kombinatorisch (d.h. als Abzählung von Teilmengen) interpretieren?

Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann existieren sie?
Wann stimmen Limes superior und Limes inferior überein?

Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y Fréchet-differenzierbar?
Was ist die Fréchet-Ableitung von f ?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei seien f_n in C⁰(K,R^m), K in R^N kompakt.)
(a) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f stetig.
(b) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f halbstetig.
(c) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f stetig.
(d) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f halbstetig.
(e) Konvergiert f_n monoton gegen ein stetiges f, so konvergiert f_n gleichmäßig.

Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge f_n: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen?

Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen?

Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration x_n+1 = g(x_n) (mindestens) einen Fixpunkt?

Wie ist das Riemann-Integral definiert?

Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf der Einheitssphäare an?
Beweise!

Was ist Vollständige Induktion?

Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Wie lautet der Satz von Fubini?

Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen?
Was ist ein Banachraum?

Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren?

Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen?

Was ist eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!

Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig approximiert werden?
Mit welcher Grundidee lassen sich approximierende Polynome zu einer gegebenen Funktion f konstruieren?

Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Was ist eine obere Schranke für A?
Wann heißt A nach oben beschränkt?

Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge?

Wie lautet die Trapezregel?

Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f^-1 ?

Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?
Bei welchen der folgenden Reihen gibt das Quotientenkriterium Aufschluss über Konvergenz oder Divergenz?
∑ (n!) / (nⁿ),     ∑ 1 / n²,     ∑ 1 / (3 + (-1)ⁿ)ⁿ.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
(a) stetig, aber in x₀=0 nicht differenzierbar;
(b) differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig;
(c) differenzierbar, aber in x₀=0 nicht stetig differenzierbar sind.

Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f in Cⁿ⁺¹(U,Y), U offene Teilmenge von X, in einem Punkt x₀ aus U ?
Welche Darstellungen/Abschätzungen des Restgliedes kennst Du (wenigstens 3)?

Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve?

Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im R^N?

Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig?