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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet der Satz von Fubini? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie integriert man rationale Funktionen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lautet die Trapezregel? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Warum gilt der Satz von Rolle? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was ist eine Regelfunktion? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was ist Vollständige Induktion? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Was ist ein Maßtensor? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Warum divergiert die harmonische Reihe? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie lautet der Satz von Baire? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Was sind uneigentliche Integrale? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lautet der Schrankensatz? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist eine Metrik? Gib je zwei Beispiele an für Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Was ist eine Potenzreihe? Seien A und B Mengen. Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was sind halbstetige Funktionen? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? | |||
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