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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie integriert man rationale Funktionen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet der Satz von Baire? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist Vollständige Induktion? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lautet der Schrankensatz? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Seien A und B Mengen. Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Gib je zwei Beispiele an für Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was sind uneigentliche Integrale? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Was ist eine Potenzreihe? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Warum divergiert die harmonische Reihe? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was ist eine Regelfunktion? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie lautet die Trapezregel? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was ist eine rekursiv definierte Folge? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was ist ein Maßtensor? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist eine Metrik? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
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Last change: Sep. 1, 2009
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