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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Warum gilt der Satz von Rolle? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Was ist eine Metrik? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Gib je zwei Beispiele an für Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was sind halbstetige Funktionen? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wo sind Potenzreihen stetig? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Warum divergiert die harmonische Reihe? Seien A und B Mengen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet die Trapezregel? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was sind uneigentliche Integrale? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet der Satz von Fubini? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was ist Vollständige Induktion? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Schrankensatz? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was ist ein Maßtensor? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist eine Potenzreihe? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet der Satz von Baire? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was ist eine Regelfunktion? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie integriert man rationale Funktionen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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