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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Satz von Gauß? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist eine Potenzreihe? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was ist eine Metrik? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Warum gilt der Satz von Rolle? Was sind uneigentliche Integrale? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Seien A und B Mengen. Wie lautet der Satz von Baire? Wie lautet der Schrankensatz? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lautet die Trapezregel? Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet der Satz von Fubini? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Gib je zwei Beispiele an für Was ist ein Maßtensor? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie integriert man rationale Funktionen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist eine Regelfunktion? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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