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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet der Schrankensatz? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Was ist eine Regelfunktion? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Satz von Stokes? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Seien A und B Mengen. Gib je zwei Beispiele an für Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was ist ein Maßtensor? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist eine Potenzreihe? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lautet die Trapezregel? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet der Satz von Baire? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet der Satz von Fubini? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist eine Metrik? Warum gilt der Satz von Rolle? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie integriert man rationale Funktionen? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was ist eine rekursiv definierte Folge? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wo sind Potenzreihen stetig? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was sind uneigentliche Integrale? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was ist Vollständige Induktion? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) | |||
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