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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was ist Vollständige Induktion? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Warum gilt der Satz von Rolle? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was ist ein Maßtensor? Was ist eine Metrik? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet die Trapezregel? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet der Schrankensatz? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie lautet der Satz von Baire? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Was sind uneigentliche Integrale? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Gib je zwei Beispiele an für Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet der Satz von Fubini? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Seien A und B Mengen. Was ist eine Potenzreihe? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Warum divergiert die harmonische Reihe? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was ist die Krümmung einer Kurve? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wo sind Potenzreihen stetig? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was ist eine Regelfunktion? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet der Satz von Stokes? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie integriert man rationale Funktionen? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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