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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet der Satz von Baire? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie lautet die Trapezregel? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie integriert man rationale Funktionen? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist ein Maßtensor? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was sind uneigentliche Integrale? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was ist eine Potenzreihe? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Seien A und B Mengen. Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was sind halbstetige Funktionen? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet der Satz von Fubini? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Gib je zwei Beispiele an für Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was ist eine Regelfunktion? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was ist eine Metrik? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was ist Vollständige Induktion? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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