|
Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
|
Organization
Welcome Activities
Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was sind halbstetige Funktionen? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Was ist eine Potenzreihe? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lautet der Satz von Baire? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was ist die Krümmung einer Kurve? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Seien A und B Mengen. Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was ist eine Regelfunktion? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was ist eine Metrik? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was ist ein Maßtensor? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lautet der Satz von Gauß? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Gib je zwei Beispiele an für Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was sind uneigentliche Integrale? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet der Schrankensatz? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lautet die Trapezregel? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. | |||
Last change: Sep. 1, 2009
|
|
