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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lautet der Satz von Fubini? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was sind uneigentliche Integrale? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Was ist eine Metrik? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Gib je zwei Beispiele an für Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Warum gilt der Satz von Rolle? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Seien A und B Mengen. Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lautet der Satz von Stokes? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet die Trapezregel? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Was ist eine Potenzreihe? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist eine Regelfunktion? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lautet der Schrankensatz? Was sind halbstetige Funktionen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist ein Maßtensor? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet der Satz von Gauß? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lautet der Zwischenwertsatz? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet der Satz von Baire? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? | |||
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