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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet der Satz von Fubini? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Schrankensatz? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist Vollständige Induktion? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet die Trapezregel? Gib je zwei Beispiele an für Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Warum divergiert die harmonische Reihe? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Seien A und B Mengen. Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lautet der Satz von Stokes? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was sind uneigentliche Integrale? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lautet der Satz von Baire? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wo sind Potenzreihen stetig? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Was ist ein Maßtensor? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was sind halbstetige Funktionen? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Was ist eine Regelfunktion? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Warum gilt der Satz von Rolle? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was ist eine Metrik? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie lautet der Satz von Gauß? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was ist eine Potenzreihe? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. | |||
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