Winter 2009/2010

203 Kernfragen der Analysis

Zum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge.

Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge?

Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar?

Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren?

Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im R^N?

Was sind uneigentliche Integrale?

Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert?

Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?

Was ist der Tangentialraum an eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N im Punkt x₀?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!
Was ein Normalenvektor?

Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt x₀ stetig?
Welche äquivalente Definitionen der Stetigkeit gibt es (wenigstens drei verschiedene)?

Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln.

Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem Punkt x₀ differenzierbar?
Wie lässt sich die Ableitung geometisch interpretieren?

Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen?

Wie sind Häufungswerte einer Folge x_n definiert?

Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung (global) Lipschitz-stetig?
Beweise!

Was ist ein Atlas einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent?
Wann heißt sie Cauchy-Folge?

Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent?

Was ist die Krümmung einer Kurve?

Wie lautet der Satz von Fubini?

Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei seien f_n in C⁰(K,R^m), K in R^N kompakt.)
(a) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f stetig.
(b) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f halbstetig.
(c) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f stetig.
(d) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f halbstetig.
(e) Konvergiert f_n monoton gegen ein stetiges f, so konvergiert f_n gleichmäßig.

Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z?

Wie lautet der Satz von Baire?

Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge?
Beweise!

Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie?

Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in x₀=0 ?
(1+x)^α,     log(1+x).

Für welche reellen α ist |x|^α in x=0 differenzierbar?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Wie sind Supremum und Infimum von A definiert?
Wann besitzt A ein Supremum?

Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig?

Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen?

Sei U eine konvexe Teilmende des Rⁿ. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: U → R richtig, welche falsch?
(a) Konvexe Funktionen sind stetig.
(b) Konvexe Funktionen sind im Inneren des Definitionsbereiches stetig.
(c) Konvexe Funktionen sind zweimal differenzierbar und haben in jedem Punkt eine positiv semidefinite zweite Ableitung.
(d) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) positiv semidefiniter Hesse-Matrix sind konvex.
(e) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) (strikt) positiv definiter Hesse-Matrix sind strikt konvex.
(f) Konvexe Funktionen nehmen ihr Minimum an.
(g) Konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten nehmen ihr Minimum an.
(h) Strikt konvexe Funktionen besitzen höchstens ein Minimum.
(i) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein lokales Minimum.
(j) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein Minimum.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist f in Leb, so sind f⁺, f^- in Leb.
(b) Ist f in Leb, so ist |f| in Leb.
(c) Ist |f| in Leb, so ist f in Leb.
(d) Sind f,g in Leb, so sind max(f,g), min(f,g) in Leb.

Was ist eine rekursiv definierte Folge?
Gib Beispiele an.

Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ?

Wie lautet die Produktregel für Ableitungen?
Warum gilt sie?
Beweise!

Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer 2π-periodischen Funktion f: R → C?
Wie lautet die Fourier-Reihe zu f?
In welchem Sinn und wogegen konvergiert die Fourier-Reihe?

Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null?
Gib auch Beispiele an!
Sind rotationsfreie Vektorfelder Gradienten skalarer Funktionen?
Gib auch Beispiele an!

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend?

Wie lautet das n-te Taylor-Polynom?
Wie kann das Restglied ausgedrückt werden?

Für welche reellen Exponenten α konvergiert das uneigentliche Integral
∫₀¹ x^α dx,
für welche das uneigentliche Integral
∫₁^∞ x^α dx?

Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen?

Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum?

Was ist eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!

Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫₀^∞ f(t) dt ?

Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen?

Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)ⁿ + 1/n ?

Wie ist das Lebesgue-Integral definiert?

Wie hängen e^z, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen?

Was sind halbstetige Funktionen?

Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rⁿ → R^m ?

Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt,     ∫ dx/x,     ∫ (x+1)^1/n dx,     ∫ dx/(1+x²),     ∫ x^α dx, für α ≠ -1.

Wo sind Potenzreihen stetig?
Wo sind sie gleichmäßig stetig?

Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration x_n+1 = g(x_n) (mindestens) einen Fixpunkt?

Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?

Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?
Bei welchen der folgenden Reihen gibt das Quotientenkriterium Aufschluss über Konvergenz oder Divergenz?
∑ (n!) / (nⁿ),     ∑ 1 / n²,     ∑ 1 / (3 + (-1)ⁿ)ⁿ.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe?
Wie lautet sie?
Wie hängen die Konvergenzradien der Potenzreihen und ihres Produktes zusammen?

Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R^l ausdrücken?

Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist.

Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n+1)/2.

Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren? Welche konvergieren absolut?
∫₁^∞ sin(x) dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x² dx,
∫₁^∞ sin(x²) dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x² dx.

Wann heißen zwei Metriken äquivalent?

Wie integriert man rationale Funktionen?
Welche elementaren Integrale muss man dazu kennen?

Wie lautet der Binomische Lehrsatz?
Beweise damit die folgende Identität:
Die Summe der Binomialkoeffizienten (n über k) für k von 0 bis n beträgt 2ⁿ.

Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ?

Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen?

Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig approximiert werden?
Mit welcher Grundidee lassen sich approximierende Polynome zu einer gegebenen Funktion f konstruieren?

Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Gib ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.

Seien A und B Mengen.
Wann nennt man eine Funktion f: A → B injektiv, wann surjektiv?

Was ist ein Dedekindscher Schnitt?
Was ist eine Intervallschachtelung?

Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.)

Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy?
Warum gilt es?

Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f^-1 ?

Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R konvex?
Wann heißt sie strikt konvex?

Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden?

Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen?

Wie lautet der Satz von Stokes?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar?
Wie lautet ihre Ableitung?

Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen?

Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)ⁿ und (1+1/n)ⁿ⁺¹ ?

Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann existieren sie?
Wann stimmen Limes superior und Limes inferior überein?

Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen?
Wie berechnest Du speziell das Volumen der 3-dimensionalen Kugel?

Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert?

Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen?

Für welche komplexen q existiert die Summe der Potenzen qⁿ über alle natürlichen n?
Welchen Wert hat die Summe?

Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden?

Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen?

Wie hängen Integration und Differentiation zusammen?

Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren?

Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S² mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes!

Wie sind die Banachräume L^p definiert?

Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve?

Was sind Lebesgue-Nullmengen?
Gib wenigstens zwei verschiedene Charakterisierungen an!

Was ist eine Metrik?
Gib außerdem drei verschiedene Beispiele!

Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert?

Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt ein metrischer Raum total unzusammenhängend?

Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!

Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y Fréchet-differenzierbar?
Was ist die Fréchet-Ableitung von f ?

Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g?

Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf C_c⁰(R^N, R) gibt es?

Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren folgende Funktionenfolgen gleichmäßig?
f_n(x) = 1 / (1 + n² x²),     f_n(x) = exp(-n x²),     f_n(x) = ∑ (-1)^k x^k, summiert über k von 0 bis n.

Wie ist das Riemann-Integral definiert?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen?

Wie lautet der Schrankensatz?
Warum gilt der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) nicht in höheren Dimensionen?

Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige, reellwertige Funktionen definiert?
Warum ist sie tatsächlich eine Norm?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen?

Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
e^x sin(x),     sin(x) / cos(x),     exp(-x²),     log((1+x)/(1-x)),     x^x.

Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig stetig?
|x|,     exp(x),     x²,     sin(x),     (x³ + 1) / (x⁴ - 1),     [x] - x.
Hierbei bezeichnet die Gauß-Klammer, [x], die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen?
Was ist ein Banachraum?

Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei 1 ≤ p < q < +∞.)
(a) Ist f in L^p beschränkt, so ist f in L^q.
(b) Ist f in L^q beschränkt, so ist f in L^p.
(c) Ist f in L^p und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^q.
(d) Ist f in L^q und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^p.

Was ist der Gradient der Abbildung f: Rⁿ\{0} → R, f(x) = ||x||^-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet?

Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind?

Was versteht man unter einer Cantor-Menge?
Gib außerdem ein Beispiel an!

Wie lautet die Trapezregel?

Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig?

Was ist eine Potenzreihe?
Was ist ihr Konvergenzradius?
Wie berechnet er sich?

Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt?

Was ist die Umkehrfunktion von exp(x).
Welche Funktionalgleichung erfüllt sie?
Wo ist sie definiert? Wo ist sie stetig?

Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig?

Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R → R wieder Intervalle?
Sind stetige Bilder offener Intervalle wieder offene Intervalle?

Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert?

Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal diferenzierbar.
Wie lassen sich Konvexität und strikte Konvexität durch Bedingungen an die zweite Ableitung ausdrücken?

Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf der Einheitssphäare an?
Beweise!

Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare Mengen?
Gib Beispiele an.

Gib je zwei Beispiele an für
(a) Regelfunktionen und
(b) Funktionen, die keine Regelfunktionen sind.

Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Wie lautet das Wohlordnungsprinzip?

Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im R^N integrieren?

Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz?

Wann heißt ein metrischer Raum vollständig?

Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g?

Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung?

Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt.

Welche dieser Folgen konvergieren für n → ∞?
Was sind ggf. ihre Grenzwerte?
n² / (3 n - 2),     (3 n² - 2) / (2 n² + 3),     2ⁿ / (n!),     n^1/n,     q^1/n mit reellem q.

Sei U die endliche Menge der Zahlen a₁, a₂, ..., a_N.
Gib eine Funktion f der reellen Zahlen in sich an, die auf U unstetig, auf dem Komplement von U aber stetig ist.

Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen?

Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Bestimme Infimum und Supremum von B.

Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen Zahlen R (mit deren Standardmetrik)?
Z,     Q,     (1/2,1) ∪ (1/3,1/2) ∪ (1/4,1/3) ∪ (1/5,1/4) ∪ ....

Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W
elche (notwendige) Bedingung ist erfüllt, wenn f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum besitzt?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung besitzt f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum?

Warum konvergiert die Reihe ∑ k^-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ?

Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
(a) stetig, aber in x₀=0 nicht differenzierbar;
(b) differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig;
(c) differenzierbar, aber in x₀=0 nicht stetig differenzierbar sind.

Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R.

Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht?

Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Wie lauten die Regeln von de L'Hospital?

Wann nennt man eine Folge x_n reeller Zahlen konvergent und wann divergent?

Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig?

Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ?

Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R, D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche, die ihr Supremum nicht annehmen.
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung nimmt eine stetige Funktion auf einer Menge D ihr Supremum an?

Wie lautet der Zwischenwertsatz?

Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen?

Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt?

Wann ist ein metrischer Raum kompakt?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!
Gib außerdem je ein Beispiel eines kompakten und eines nicht kompakten Raumes!

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist N eine Nullmenge, so ist N abzählbar.
(b) Ist N abzählbar, so ist N eine Nullmenge.
(c) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in N, so auch die Vereinigung.
(d) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in Q, so auch die Vereinigung.
(e) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in R, so auch die Vereinigung.
(f) Q ist eine Nullmenge in R.
(g) Ist N eine Nullmenge in Rⁿ und φ in Lip(Rⁿ, Rⁿ), so ist φ(N) eine Nullmenge.

Wann existiert die Inverse f^-1 einer stetigen Funktion f: [a,b] → R ?
Wann ist die Inverse stetig?

Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)?
Wie lautet der Satz von Rolle?

Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R ausdrücken?

Was ist eine "Zerlegung der Eins?"

Was ist Vollständige Induktion?

Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f in Cⁿ⁺¹(U,Y), U offene Teilmenge von X, in einem Punkt x₀ aus U ?
Welche Darstellungen/Abschätzungen des Restgliedes kennst Du (wenigstens 3)?

Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum?

Was ist eine Regelfunktion?
Welche äquivalenten Charakteriesierungen gibt es (wenigstens 2)?

Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen?

Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren?

Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ?

Warum divergiert die harmonische Reihe?

Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi?
Warum gilt er?
Beweise!

Was ist ein Maßtensor?
Was ist die Gramsche Determinante?
Wozu dient sie?

Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen?

Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rⁿ → R kennst Du?

Wie ist die allgemeine Potenz x^α für komplexe α und positive, reelle x definiert?

Wie ist der Raum BC¹(R,R) definiert?
Was bedeutet seine Vollständigkeit für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung einer Funktionenfolge f_n: R → R?

Wie kann man die Elemente in L¹ als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren?

Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an.

Wie lautet der Satz von Gauß?
Erlätere die auftretenden Terme!

Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist.

Welche Linearisierung hat die implizit durch x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1 gegebene Funktion x_n(x₁, ..., x_n-1): R^n-1 → R ?

Warum gilt der Satz von Rolle?
Skizziere einen Beweis!

Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in x=0 ?
sin(x) / x,     (cos(x) - 1) / x²,     log(1+x) / x,     x / (e^x - 1).

Was bedeuten die Landau-Symbole o(h), O(h²) und o(1)?
Wie lassen sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit mit ihrer Hilfe ausdrücken?

Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren?

Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Gib außerdem jeweils ein nichttriviales Beispiel an.

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Was ist eine obere Schranke für A?
Wann heißt A nach oben beschränkt?

Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl?

Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: Rⁿ → R^m richtig, welche falsch?
(a) Partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig.
(b) Diffenzierbare Abbildungen sind stetig.
(c) Partiell differenzierbare, stetige Abbildungen sind differenzierbar.
(d) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind differenzierbar.
(e) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig differenzierbar.

Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
∑ 1 / n,     ∑ (-1)ⁿ / n,     ∑ (-1)ⁿ / n²,     ∑ xⁿ / (n!) mit komplexem x.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale?
Gib Beispiele
(a) absolut konvergenter;
(b) konvergenter aber nicht absolut konvergenter;
(c) nicht konvergenter
uneigentlicher Integrale.

Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k), und welche Rekursionsformel erfüllen sie?
Wie lässt sich die Rekursionsformel kombinatorisch (d.h. als Abzählung von Teilmengen) interpretieren?

Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Was ist eine Lebesgue-Nullmenge?

Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?

Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend?
Gib außerdem je ein Beispiel eines zusammenhängenden und eines nicht zusammenhängenden Raumes!

Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b?

Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge f_n: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rⁿ charakterisieren?