Winter 2009/2010

203 Kernfragen der Analysis

Zum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge.

Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung (global) Lipschitz-stetig?
Beweise!

Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen?

Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen?

Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen?

Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare Mengen?
Gib Beispiele an.

Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren? Welche konvergieren absolut?
∫₁^∞ sin(x) dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x² dx,
∫₁^∞ sin(x²) dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x² dx.

Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?
Bei welchen der folgenden Reihen gibt das Quotientenkriterium Aufschluss über Konvergenz oder Divergenz?
∑ (n!) / (nⁿ),     ∑ 1 / n²,     ∑ 1 / (3 + (-1)ⁿ)ⁿ.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt?

Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R^l ausdrücken?

Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent?

Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in x=0 ?
sin(x) / x,     (cos(x) - 1) / x²,     log(1+x) / x,     x / (e^x - 1).

Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in x₀=0 ?
(1+x)^α,     log(1+x).

Wann nennt man eine Folge x_n reeller Zahlen konvergent und wann divergent?

Warum divergiert die harmonische Reihe?

Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen?

Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen?

Wie lautet der Schrankensatz?
Warum gilt der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) nicht in höheren Dimensionen?

Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz?

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß?

Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen?

Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z?

Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert?

Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve?

Wie lauten die Regeln von de L'Hospital?

Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rⁿ charakterisieren?

Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig approximiert werden?
Mit welcher Grundidee lassen sich approximierende Polynome zu einer gegebenen Funktion f konstruieren?

Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ?

Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen?

Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist.

Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt.

Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe?
Wie lautet sie?
Wie hängen die Konvergenzradien der Potenzreihen und ihres Produktes zusammen?

Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend?
Gib außerdem je ein Beispiel eines zusammenhängenden und eines nicht zusammenhängenden Raumes!

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Was ist eine obere Schranke für A?
Wann heißt A nach oben beschränkt?

Was ist eine Lebesgue-Nullmenge?

Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli?

Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren?

Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar?
Wie lautet ihre Ableitung?

Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g?

Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)ⁿ und (1+1/n)ⁿ⁺¹ ?

Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent?
Wann heißt sie Cauchy-Folge?

Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln.

Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren folgende Funktionenfolgen gleichmäßig?
f_n(x) = 1 / (1 + n² x²),     f_n(x) = exp(-n x²),     f_n(x) = ∑ (-1)^k x^k, summiert über k von 0 bis n.

Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf C_c⁰(R^N, R) gibt es?

Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung?

Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)ⁿ + 1/n ?

Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ?

Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren?

Wie ist das Lebesgue-Integral definiert?

Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer 2π-periodischen Funktion f: R → C?
Wie lautet die Fourier-Reihe zu f?
In welchem Sinn und wogegen konvergiert die Fourier-Reihe?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt?

Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen?
Was ist ein Banachraum?

Für welche reellen Exponenten α konvergiert das uneigentliche Integral
∫₀¹ x^α dx,
für welche das uneigentliche Integral
∫₁^∞ x^α dx?

Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Warum gilt der Satz von Rolle?
Skizziere einen Beweis!

Wann ist ein metrischer Raum kompakt?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!
Gib außerdem je ein Beispiel eines kompakten und eines nicht kompakten Raumes!

Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Bestimme Infimum und Supremum von B.

Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig?

Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null?
Gib auch Beispiele an!
Sind rotationsfreie Vektorfelder Gradienten skalarer Funktionen?
Gib auch Beispiele an!

Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ?

Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale?
Gib Beispiele
(a) absolut konvergenter;
(b) konvergenter aber nicht absolut konvergenter;
(c) nicht konvergenter
uneigentlicher Integrale.

Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an.

Wie lautet die Produktregel für Ableitungen?
Warum gilt sie?
Beweise!

Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k), und welche Rekursionsformel erfüllen sie?
Wie lässt sich die Rekursionsformel kombinatorisch (d.h. als Abzählung von Teilmengen) interpretieren?

Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi?
Warum gilt er?
Beweise!

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist f in Leb, so sind f⁺, f^- in Leb.
(b) Ist f in Leb, so ist |f| in Leb.
(c) Ist |f| in Leb, so ist f in Leb.
(d) Sind f,g in Leb, so sind max(f,g), min(f,g) in Leb.

Für welche komplexen q existiert die Summe der Potenzen qⁿ über alle natürlichen n?
Welchen Wert hat die Summe?

Wie sind die Banachräume L^p definiert?

Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen?

Was ist eine Metrik?
Gib außerdem drei verschiedene Beispiele!

Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge?
Beweise!

Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind?

Was ist eine Regelfunktion?
Welche äquivalenten Charakteriesierungen gibt es (wenigstens 2)?

Was ist der Tangentialraum an eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N im Punkt x₀?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!
Was ein Normalenvektor?

Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert?

Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g?

Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen?

Was versteht man unter einer Cantor-Menge?
Gib außerdem ein Beispiel an!

Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal diferenzierbar.
Wie lassen sich Konvexität und strikte Konvexität durch Bedingungen an die zweite Ableitung ausdrücken?

Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ?

Wie lautet der Binomische Lehrsatz?
Beweise damit die folgende Identität:
Die Summe der Binomialkoeffizienten (n über k) für k von 0 bis n beträgt 2ⁿ.

Wie hängen Integration und Differentiation zusammen?

Was ist der Gradient der Abbildung f: Rⁿ\{0} → R, f(x) = ||x||^-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet?

Wie integriert man rationale Funktionen?
Welche elementaren Integrale muss man dazu kennen?

Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen?

Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum?

Für welche reellen α ist |x|^α in x=0 differenzierbar?

Sei U eine konvexe Teilmende des Rⁿ. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: U → R richtig, welche falsch?
(a) Konvexe Funktionen sind stetig.
(b) Konvexe Funktionen sind im Inneren des Definitionsbereiches stetig.
(c) Konvexe Funktionen sind zweimal differenzierbar und haben in jedem Punkt eine positiv semidefinite zweite Ableitung.
(d) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) positiv semidefiniter Hesse-Matrix sind konvex.
(e) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) (strikt) positiv definiter Hesse-Matrix sind strikt konvex.
(f) Konvexe Funktionen nehmen ihr Minimum an.
(g) Konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten nehmen ihr Minimum an.
(h) Strikt konvexe Funktionen besitzen höchstens ein Minimum.
(i) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein lokales Minimum.
(j) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein Minimum.

Wie lautet der Satz von Baire?

Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann existieren sie?
Wann stimmen Limes superior und Limes inferior überein?

Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar?

Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt x₀ stetig?
Welche äquivalente Definitionen der Stetigkeit gibt es (wenigstens drei verschiedene)?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist N eine Nullmenge, so ist N abzählbar.
(b) Ist N abzählbar, so ist N eine Nullmenge.
(c) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in N, so auch die Vereinigung.
(d) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in Q, so auch die Vereinigung.
(e) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in R, so auch die Vereinigung.
(f) Q ist eine Nullmenge in R.
(g) Ist N eine Nullmenge in Rⁿ und φ in Lip(Rⁿ, Rⁿ), so ist φ(N) eine Nullmenge.

Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden?

Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy?
Warum gilt es?

Warum konvergiert die Reihe ∑ k^-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ?

Welche Linearisierung hat die implizit durch x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1 gegebene Funktion x_n(x₁, ..., x_n-1): R^n-1 → R ?

Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen Zahlen R (mit deren Standardmetrik)?
Z,     Q,     (1/2,1) ∪ (1/3,1/2) ∪ (1/4,1/3) ∪ (1/5,1/4) ∪ ....

Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem Punkt x₀ differenzierbar?
Wie lässt sich die Ableitung geometisch interpretieren?

Was ist ein Dedekindscher Schnitt?
Was ist eine Intervallschachtelung?

Was bedeuten die Landau-Symbole o(h), O(h²) und o(1)?
Wie lassen sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit mit ihrer Hilfe ausdrücken?

Wie lautet der Satz von Gauß?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wie sind Häufungswerte einer Folge x_n definiert?

Wie ist die allgemeine Potenz x^α für komplexe α und positive, reelle x definiert?

Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen?

Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum?

Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R konvex?
Wann heißt sie strikt konvex?

Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)?
Wie lautet der Satz von Rolle?

Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig stetig?
|x|,     exp(x),     x²,     sin(x),     (x³ + 1) / (x⁴ - 1),     [x] - x.
Hierbei bezeichnet die Gauß-Klammer, [x], die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei 1 ≤ p < q < +∞.)
(a) Ist f in L^p beschränkt, so ist f in L^q.
(b) Ist f in L^q beschränkt, so ist f in L^p.
(c) Ist f in L^p und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^q.
(d) Ist f in L^q und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^p.

Gib je zwei Beispiele an für
(a) Regelfunktionen und
(b) Funktionen, die keine Regelfunktionen sind.

Seien A und B Mengen.
Wann nennt man eine Funktion f: A → B injektiv, wann surjektiv?

Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?

Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n+1)/2.

Was sind uneigentliche Integrale?

Wann heißen zwei Metriken äquivalent?

Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rⁿ → R kennst Du?

Wie lautet das n-te Taylor-Polynom?
Wie kann das Restglied ausgedrückt werden?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen?

Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b?

Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig?

Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R → R wieder Intervalle?
Sind stetige Bilder offener Intervalle wieder offene Intervalle?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Wie sind Supremum und Infimum von A definiert?
Wann besitzt A ein Supremum?

Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig?

Wann heißt ein metrischer Raum vollständig?

Was ist ein Atlas einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Was ist Vollständige Induktion?

Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren?

Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.)

Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: Rⁿ → R^m richtig, welche falsch?
(a) Partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig.
(b) Diffenzierbare Abbildungen sind stetig.
(c) Partiell differenzierbare, stetige Abbildungen sind differenzierbar.
(d) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind differenzierbar.
(e) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig differenzierbar.

Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden?

Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige, reellwertige Funktionen definiert?
Warum ist sie tatsächlich eine Norm?

Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt ein metrischer Raum total unzusammenhängend?

Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
(a) stetig, aber in x₀=0 nicht differenzierbar;
(b) differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig;
(c) differenzierbar, aber in x₀=0 nicht stetig differenzierbar sind.

Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y Fréchet-differenzierbar?
Was ist die Fréchet-Ableitung von f ?

Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f in Cⁿ⁺¹(U,Y), U offene Teilmenge von X, in einem Punkt x₀ aus U ?
Welche Darstellungen/Abschätzungen des Restgliedes kennst Du (wenigstens 3)?

Was ist eine "Zerlegung der Eins?"

Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht?

Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Wie lautet der Satz von Fubini?

Wo sind Potenzreihen stetig?
Wo sind sie gleichmäßig stetig?

Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren?

Wie ist der Raum BC¹(R,R) definiert?
Was bedeutet seine Vollständigkeit für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung einer Funktionenfolge f_n: R → R?

Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert?

Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?

Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
∑ 1 / n,     ∑ (-1)ⁿ / n,     ∑ (-1)ⁿ / n²,     ∑ xⁿ / (n!) mit komplexem x.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen?

Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei seien f_n in C⁰(K,R^m), K in R^N kompakt.)
(a) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f stetig.
(b) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f halbstetig.
(c) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f stetig.
(d) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f halbstetig.
(e) Konvergiert f_n monoton gegen ein stetiges f, so konvergiert f_n gleichmäßig.

Wie ist das Riemann-Integral definiert?

Wie lautet die Trapezregel?

Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen?
Wie berechnest Du speziell das Volumen der 3-dimensionalen Kugel?

Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
e^x sin(x),     sin(x) / cos(x),     exp(-x²),     log((1+x)/(1-x)),     x^x.

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend?

Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge f_n: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f^-1 ?

Was ist eine rekursiv definierte Folge?
Gib Beispiele an.

Was ist eine Potenzreihe?
Was ist ihr Konvergenzradius?
Wie berechnet er sich?

Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S² mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes!

Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration x_n+1 = g(x_n) (mindestens) einen Fixpunkt?

Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Gib außerdem jeweils ein nichttriviales Beispiel an.

Wie hängen e^z, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen?

Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im R^N integrieren?

Was sind Lebesgue-Nullmengen?
Gib wenigstens zwei verschiedene Charakterisierungen an!

Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen?

Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt,     ∫ dx/x,     ∫ (x+1)^1/n dx,     ∫ dx/(1+x²),     ∫ x^α dx, für α ≠ -1.

Was ist die Umkehrfunktion von exp(x).
Welche Funktionalgleichung erfüllt sie?
Wo ist sie definiert? Wo ist sie stetig?

Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie?

Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W
elche (notwendige) Bedingung ist erfüllt, wenn f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum besitzt?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung besitzt f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum?

Was sind halbstetige Funktionen?

Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf der Einheitssphäare an?
Beweise!

Was ist eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!

Was ist die Krümmung einer Kurve?

Wie lautet der Zwischenwertsatz?

Sei U die endliche Menge der Zahlen a₁, a₂, ..., a_N.
Gib eine Funktion f der reellen Zahlen in sich an, die auf U unstetig, auf dem Komplement von U aber stetig ist.

Wie lautet das Wohlordnungsprinzip?

Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R, D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche, die ihr Supremum nicht annehmen.
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung nimmt eine stetige Funktion auf einer Menge D ihr Supremum an?

Wann existiert die Inverse f^-1 einer stetigen Funktion f: [a,b] → R ?
Wann ist die Inverse stetig?

Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!

Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Gib ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.

Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen?

Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert?

Wie lautet der Satz von Stokes?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im R^N?

Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R.

Wie kann man die Elemente in L¹ als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren?

Welche dieser Folgen konvergieren für n → ∞?
Was sind ggf. ihre Grenzwerte?
n² / (3 n - 2),     (3 n² - 2) / (2 n² + 3),     2ⁿ / (n!),     n^1/n,     q^1/n mit reellem q.

Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge?

Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist.

Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert?

Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R ausdrücken?

Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rⁿ → R^m ?

Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig?

Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?

Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫₀^∞ f(t) dt ?

Was ist ein Maßtensor?
Was ist die Gramsche Determinante?
Wozu dient sie?