Winter 2009/2010

203 Kernfragen der Analysis

Zum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge.

Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi?
Warum gilt er?
Beweise!

Warum gilt der Satz von Rolle?
Skizziere einen Beweis!

Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen?

Was sind Lebesgue-Nullmengen?
Gib wenigstens zwei verschiedene Charakterisierungen an!

Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen?

Wie lautet die Trapezregel?

Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht?

Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)ⁿ + 1/n ?

Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend?

Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R^l ausdrücken?

Was sind uneigentliche Integrale?

Wann heißen zwei Metriken äquivalent?

Was ist eine "Zerlegung der Eins?"

Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y Fréchet-differenzierbar?
Was ist die Fréchet-Ableitung von f ?

Was ist eine rekursiv definierte Folge?
Gib Beispiele an.

Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in x₀=0 ?
(1+x)^α,     log(1+x).

Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen?

Wie integriert man rationale Funktionen?
Welche elementaren Integrale muss man dazu kennen?

Wann nennt man eine Folge x_n reeller Zahlen konvergent und wann divergent?

Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen?

Wie lautet das n-te Taylor-Polynom?
Wie kann das Restglied ausgedrückt werden?

Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Bestimme Infimum und Supremum von B.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei seien f_n in C⁰(K,R^m), K in R^N kompakt.)
(a) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f stetig.
(b) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f halbstetig.
(c) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f stetig.
(d) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f halbstetig.
(e) Konvergiert f_n monoton gegen ein stetiges f, so konvergiert f_n gleichmäßig.

Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert?

Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen?

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß?

Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt,     ∫ dx/x,     ∫ (x+1)^1/n dx,     ∫ dx/(1+x²),     ∫ x^α dx, für α ≠ -1.

Sei U die endliche Menge der Zahlen a₁, a₂, ..., a_N.
Gib eine Funktion f der reellen Zahlen in sich an, die auf U unstetig, auf dem Komplement von U aber stetig ist.

Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig?

Seien A und B Mengen.
Wann nennt man eine Funktion f: A → B injektiv, wann surjektiv?

Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
(a) stetig, aber in x₀=0 nicht differenzierbar;
(b) differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig;
(c) differenzierbar, aber in x₀=0 nicht stetig differenzierbar sind.

Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen?

Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie?

Was ist ein Maßtensor?
Was ist die Gramsche Determinante?
Wozu dient sie?

Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert?

Was ist eine Regelfunktion?
Welche äquivalenten Charakteriesierungen gibt es (wenigstens 2)?

Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl?

Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?

Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert?

Wann heißt ein metrischer Raum vollständig?

Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R.

Für welche reellen α ist |x|^α in x=0 differenzierbar?

Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli?

Sei U eine konvexe Teilmende des Rⁿ. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: U → R richtig, welche falsch?
(a) Konvexe Funktionen sind stetig.
(b) Konvexe Funktionen sind im Inneren des Definitionsbereiches stetig.
(c) Konvexe Funktionen sind zweimal differenzierbar und haben in jedem Punkt eine positiv semidefinite zweite Ableitung.
(d) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) positiv semidefiniter Hesse-Matrix sind konvex.
(e) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) (strikt) positiv definiter Hesse-Matrix sind strikt konvex.
(f) Konvexe Funktionen nehmen ihr Minimum an.
(g) Konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten nehmen ihr Minimum an.
(h) Strikt konvexe Funktionen besitzen höchstens ein Minimum.
(i) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein lokales Minimum.
(j) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein Minimum.

Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren?

Wie hängen Integration und Differentiation zusammen?

Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige, reellwertige Funktionen definiert?
Warum ist sie tatsächlich eine Norm?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist N eine Nullmenge, so ist N abzählbar.
(b) Ist N abzählbar, so ist N eine Nullmenge.
(c) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in N, so auch die Vereinigung.
(d) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in Q, so auch die Vereinigung.
(e) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in R, so auch die Vereinigung.
(f) Q ist eine Nullmenge in R.
(g) Ist N eine Nullmenge in Rⁿ und φ in Lip(Rⁿ, Rⁿ), so ist φ(N) eine Nullmenge.

Wie ist die allgemeine Potenz x^α für komplexe α und positive, reelle x definiert?

Wie lautet der Satz von Baire?

Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann existieren sie?
Wann stimmen Limes superior und Limes inferior überein?

Was bedeuten die Landau-Symbole o(h), O(h²) und o(1)?
Wie lassen sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit mit ihrer Hilfe ausdrücken?

Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt ein metrischer Raum total unzusammenhängend?

Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k), und welche Rekursionsformel erfüllen sie?
Wie lässt sich die Rekursionsformel kombinatorisch (d.h. als Abzählung von Teilmengen) interpretieren?

Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.)

Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rⁿ → R^m ?

Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum?

Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ?

Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf C_c⁰(R^N, R) gibt es?

Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig?

Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum?

Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare Mengen?
Gib Beispiele an.

Wie lautet die Produktregel für Ableitungen?
Warum gilt sie?
Beweise!

Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale?
Gib Beispiele
(a) absolut konvergenter;
(b) konvergenter aber nicht absolut konvergenter;
(c) nicht konvergenter
uneigentlicher Integrale.

Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge f_n: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Für welche komplexen q existiert die Summe der Potenzen qⁿ über alle natürlichen n?
Welchen Wert hat die Summe?

Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist.

Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen Zahlen R (mit deren Standardmetrik)?
Z,     Q,     (1/2,1) ∪ (1/3,1/2) ∪ (1/4,1/3) ∪ (1/5,1/4) ∪ ....

Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g?

Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R ausdrücken?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen?

Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rⁿ → R kennst Du?

Wie lautet der Satz von Gauß?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen?

Was ist die Krümmung einer Kurve?

Wie lautet der Zwischenwertsatz?

Welche dieser Folgen konvergieren für n → ∞?
Was sind ggf. ihre Grenzwerte?
n² / (3 n - 2),     (3 n² - 2) / (2 n² + 3),     2ⁿ / (n!),     n^1/n,     q^1/n mit reellem q.

Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung?

Wie ist das Riemann-Integral definiert?

Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R, D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche, die ihr Supremum nicht annehmen.
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung nimmt eine stetige Funktion auf einer Menge D ihr Supremum an?

Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar?

Was ist eine Lebesgue-Nullmenge?

Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Was ist eine Metrik?
Gib außerdem drei verschiedene Beispiele!

Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
e^x sin(x),     sin(x) / cos(x),     exp(-x²),     log((1+x)/(1-x)),     x^x.

Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Wie ist der Raum BC¹(R,R) definiert?
Was bedeutet seine Vollständigkeit für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung einer Funktionenfolge f_n: R → R?

Was ist eine Potenzreihe?
Was ist ihr Konvergenzradius?
Wie berechnet er sich?

Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen?
Was ist ein Banachraum?

Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren?

Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen?
Wie berechnest Du speziell das Volumen der 3-dimensionalen Kugel?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen?

Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ?

Wie sind Häufungswerte einer Folge x_n definiert?

Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt x₀ stetig?
Welche äquivalente Definitionen der Stetigkeit gibt es (wenigstens drei verschiedene)?

Wie lautet der Schrankensatz?
Warum gilt der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) nicht in höheren Dimensionen?

Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt.

Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen?

Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rⁿ charakterisieren?

Warum konvergiert die Reihe ∑ k^-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ?

Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R konvex?
Wann heißt sie strikt konvex?

Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren folgende Funktionenfolgen gleichmäßig?
f_n(x) = 1 / (1 + n² x²),     f_n(x) = exp(-n x²),     f_n(x) = ∑ (-1)^k x^k, summiert über k von 0 bis n.

Welche Linearisierung hat die implizit durch x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1 gegebene Funktion x_n(x₁, ..., x_n-1): R^n-1 → R ?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Wie sind Supremum und Infimum von A definiert?
Wann besitzt A ein Supremum?

Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W
elche (notwendige) Bedingung ist erfüllt, wenn f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum besitzt?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung besitzt f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum?

Für welche reellen Exponenten α konvergiert das uneigentliche Integral
∫₀¹ x^α dx,
für welche das uneigentliche Integral
∫₁^∞ x^α dx?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei 1 ≤ p < q < +∞.)
(a) Ist f in L^p beschränkt, so ist f in L^q.
(b) Ist f in L^q beschränkt, so ist f in L^p.
(c) Ist f in L^p und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^q.
(d) Ist f in L^q und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^p.

Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
∑ 1 / n,     ∑ (-1)ⁿ / n,     ∑ (-1)ⁿ / n²,     ∑ xⁿ / (n!) mit komplexem x.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an.

Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung (global) Lipschitz-stetig?
Beweise!

Wann existiert die Inverse f^-1 einer stetigen Funktion f: [a,b] → R ?
Wann ist die Inverse stetig?

Warum divergiert die harmonische Reihe?

Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert?

Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig approximiert werden?
Mit welcher Grundidee lassen sich approximierende Polynome zu einer gegebenen Funktion f konstruieren?

Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz?

Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im R^N integrieren?

Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist.

Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen?

Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?
Bei welchen der folgenden Reihen gibt das Quotientenkriterium Aufschluss über Konvergenz oder Divergenz?
∑ (n!) / (nⁿ),     ∑ 1 / n²,     ∑ 1 / (3 + (-1)ⁿ)ⁿ.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve?

Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren?

Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!

Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in x=0 ?
sin(x) / x,     (cos(x) - 1) / x²,     log(1+x) / x,     x / (e^x - 1).

Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln.

Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S² mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes!

Wie lautet der Satz von Fubini?

Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)?
Wie lautet der Satz von Rolle?

Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig?

Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar?
Wie lautet ihre Ableitung?

Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer 2π-periodischen Funktion f: R → C?
Wie lautet die Fourier-Reihe zu f?
In welchem Sinn und wogegen konvergiert die Fourier-Reihe?

Wie ist das Lebesgue-Integral definiert?

Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen?

Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge?

Was ist der Tangentialraum an eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N im Punkt x₀?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!
Was ein Normalenvektor?

Was ist eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!

Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n+1)/2.

Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind?

Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden?

Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b?

Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g?

Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist f in Leb, so sind f⁺, f^- in Leb.
(b) Ist f in Leb, so ist |f| in Leb.
(c) Ist |f| in Leb, so ist f in Leb.
(d) Sind f,g in Leb, so sind max(f,g), min(f,g) in Leb.

Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Gib ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.

Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)ⁿ und (1+1/n)ⁿ⁺¹ ?

Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z?

Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?

Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert?

Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal diferenzierbar.
Wie lassen sich Konvexität und strikte Konvexität durch Bedingungen an die zweite Ableitung ausdrücken?

Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt?

Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent?

Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren?

Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung?

Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem Punkt x₀ differenzierbar?
Wie lässt sich die Ableitung geometisch interpretieren?

Gib je zwei Beispiele an für
(a) Regelfunktionen und
(b) Funktionen, die keine Regelfunktionen sind.

Was versteht man unter einer Cantor-Menge?
Gib außerdem ein Beispiel an!

Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?

Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f in Cⁿ⁺¹(U,Y), U offene Teilmenge von X, in einem Punkt x₀ aus U ?
Welche Darstellungen/Abschätzungen des Restgliedes kennst Du (wenigstens 3)?

Wie lautet das Wohlordnungsprinzip?

Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe?
Wie lautet sie?
Wie hängen die Konvergenzradien der Potenzreihen und ihres Produktes zusammen?

Wie lauten die Regeln von de L'Hospital?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Was ist eine obere Schranke für A?
Wann heißt A nach oben beschränkt?

Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden?

Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Was sind halbstetige Funktionen?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt?

Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren? Welche konvergieren absolut?
∫₁^∞ sin(x) dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x² dx,
∫₁^∞ sin(x²) dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x² dx.

Was ist ein Atlas einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration x_n+1 = g(x_n) (mindestens) einen Fixpunkt?

Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge?
Beweise!

Wie lautet der Satz von Stokes?
Erlätere die auftretenden Terme!

Wie lautet der Binomische Lehrsatz?
Beweise damit die folgende Identität:
Die Summe der Binomialkoeffizienten (n über k) für k von 0 bis n beträgt 2ⁿ.

Wann ist ein metrischer Raum kompakt?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!
Gib außerdem je ein Beispiel eines kompakten und eines nicht kompakten Raumes!

Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f^-1 ?

Wie sind die Banachräume L^p definiert?

Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫₀^∞ f(t) dt ?

Was ist ein Dedekindscher Schnitt?
Was ist eine Intervallschachtelung?

Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen?

Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im R^N?

Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: Rⁿ → R^m richtig, welche falsch?
(a) Partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig.
(b) Diffenzierbare Abbildungen sind stetig.
(c) Partiell differenzierbare, stetige Abbildungen sind differenzierbar.
(d) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind differenzierbar.
(e) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig differenzierbar.

Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig?

Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy?
Warum gilt es?

Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null?
Gib auch Beispiele an!
Sind rotationsfreie Vektorfelder Gradienten skalarer Funktionen?
Gib auch Beispiele an!

Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig stetig?
|x|,     exp(x),     x²,     sin(x),     (x³ + 1) / (x⁴ - 1),     [x] - x.
Hierbei bezeichnet die Gauß-Klammer, [x], die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Was ist der Gradient der Abbildung f: Rⁿ\{0} → R, f(x) = ||x||^-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet?

Wie kann man die Elemente in L¹ als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren?

Was ist Vollständige Induktion?

Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf der Einheitssphäare an?
Beweise!

Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ?

Wie hängen e^z, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen?

Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent?
Wann heißt sie Cauchy-Folge?

Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Gib außerdem jeweils ein nichttriviales Beispiel an.

Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R → R wieder Intervalle?
Sind stetige Bilder offener Intervalle wieder offene Intervalle?

Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend?
Gib außerdem je ein Beispiel eines zusammenhängenden und eines nicht zusammenhängenden Raumes!

Wo sind Potenzreihen stetig?
Wo sind sie gleichmäßig stetig?

Was ist die Umkehrfunktion von exp(x).
Welche Funktionalgleichung erfüllt sie?
Wo ist sie definiert? Wo ist sie stetig?