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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Gib je zwei Beispiele an für Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was ist ein Maßtensor? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet der Satz von Baire? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lautet die Trapezregel? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was ist eine Metrik? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was sind uneigentliche Integrale? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was ist eine Regelfunktion? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie integriert man rationale Funktionen? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was ist eine Potenzreihe? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wo sind Potenzreihen stetig? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was ist die Krümmung einer Kurve? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was ist Vollständige Induktion? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie lautet der Satz von Gauß? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet der Satz von Fubini? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Seien A und B Mengen. Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was sind halbstetige Funktionen? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? | |||
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