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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist ein Maßtensor? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was ist eine Regelfunktion? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist Vollständige Induktion? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Warum divergiert die harmonische Reihe? Was sind uneigentliche Integrale? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie ist das Riemann-Integral definiert? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Schrankensatz? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Seien A und B Mengen. Wo sind Potenzreihen stetig? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet die Trapezregel? Was ist eine Metrik? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was ist eine Potenzreihe? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Gib je zwei Beispiele an für Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Was sind halbstetige Funktionen? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie lautet der Satz von Baire? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet der Satz von Gauß? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was ist eine rekursiv definierte Folge? | ||||
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