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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Seien A und B Mengen. Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Was ist eine Metrik? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Gib je zwei Beispiele an für Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Warum gilt der Satz von Rolle? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was ist Vollständige Induktion? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet der Satz von Baire? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was sind halbstetige Funktionen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wo sind Potenzreihen stetig? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lautet der Satz von Gauß? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lautet der Satz von Stokes? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was ist eine Potenzreihe? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lautet die Trapezregel? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie integriert man rationale Funktionen? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was sind uneigentliche Integrale? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Was ist ein Maßtensor? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was ist eine Regelfunktion? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? | |||
Last change: Sep. 1, 2009 |
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