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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Gib je zwei Beispiele an für Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie integriert man rationale Funktionen? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Seien A und B Mengen. Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet der Satz von Stokes? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was sind halbstetige Funktionen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet die Trapezregel? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was ist Vollständige Induktion? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was ist eine Metrik? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Was sind uneigentliche Integrale? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was ist ein Maßtensor? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Warum divergiert die harmonische Reihe? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was ist eine Regelfunktion? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was ist eine Potenzreihe? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wo sind Potenzreihen stetig? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet der Schrankensatz? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lautet der Satz von Baire? Warum gilt der Satz von Rolle? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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