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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was sind uneigentliche Integrale? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was ist eine Potenzreihe? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lautet die Trapezregel? Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie integriert man rationale Funktionen? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wo sind Potenzreihen stetig? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet der Satz von Baire? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was ist Vollständige Induktion? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Satz von Stokes? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Gib je zwei Beispiele an für Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was ist ein Maßtensor? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lautet der Schrankensatz? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Seien A und B Mengen. Was ist eine Regelfunktion? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie sind die Banachräume Lp definiert? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Was sind halbstetige Funktionen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was ist eine Metrik? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? | |||
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