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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wo sind Potenzreihen stetig? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie integriert man rationale Funktionen? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist eine Metrik? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was sind uneigentliche Integrale? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Was ist ein Maßtensor? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Gib je zwei Beispiele an für Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Warum divergiert die harmonische Reihe? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet der Satz von Stokes? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was ist die Krümmung einer Kurve? Was ist eine Potenzreihe? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Satz von Fubini? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie lautet der Satz von Baire? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Was ist Vollständige Induktion? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Warum gilt der Satz von Rolle? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Satz von Gauß? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was ist eine Regelfunktion? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lautet die Trapezregel? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Was sind halbstetige Funktionen? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Seien A und B Mengen. Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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