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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was ist eine Metrik? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Seien A und B Mengen. Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Was sind uneigentliche Integrale? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lautet der Schrankensatz? Wie lautet der Satz von Fubini? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lautet der Satz von Baire? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Warum gilt der Satz von Rolle? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie integriert man rationale Funktionen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet der Satz von Stokes? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Was ist eine Regelfunktion? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist eine Potenzreihe? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was ist ein Maßtensor? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist Vollständige Induktion? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Gib je zwei Beispiele an für Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lautet die Trapezregel? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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