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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie integriert man rationale Funktionen? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Satz von Stokes? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Was sind uneigentliche Integrale? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was ist ein Maßtensor? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lautet der Satz von Fubini? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Was ist die Krümmung einer Kurve? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was ist eine Potenzreihe? Gib je zwei Beispiele an für Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Satz von Baire? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wo sind Potenzreihen stetig? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lautet der Schrankensatz? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Seien A und B Mengen. Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie lautet die Trapezregel? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was ist eine Regelfunktion? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Was ist Vollständige Induktion? Was ist eine Metrik? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. | |||
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