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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Gib je zwei Beispiele an für Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Was ist eine Potenzreihe? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Warum gilt der Satz von Rolle? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was ist eine Regelfunktion? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lautet der Satz von Baire? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wo sind Potenzreihen stetig? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Seien A und B Mengen. Wie lautet der Zwischenwertsatz? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Was sind uneigentliche Integrale? Was ist ein Maßtensor? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was ist eine Metrik? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet die Trapezregel? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lautet der Schrankensatz? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was sind halbstetige Funktionen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie integriert man rationale Funktionen? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was ist Vollständige Induktion? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. | |||
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