|
Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
Organization
Welcome Activities
Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was ist eine Potenzreihe? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet die Trapezregel? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was sind halbstetige Funktionen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was sind uneigentliche Integrale? Was ist eine Metrik? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Seien A und B Mengen. Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Satz von Baire? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet der Satz von Fubini? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Gib je zwei Beispiele an für Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Warum gilt der Satz von Rolle? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Was ist Vollständige Induktion? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Was ist ein Maßtensor? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was ist eine Regelfunktion? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? | |||
Last change: Sep. 1, 2009 |
|