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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Satz von Baire? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet der Satz von Gauß? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was ist eine Potenzreihe? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Was sind halbstetige Funktionen? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Gib je zwei Beispiele an für Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet der Schrankensatz? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was sind uneigentliche Integrale? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet die Trapezregel? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Was ist eine Metrik? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie integriert man rationale Funktionen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Seien A und B Mengen. Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was ist eine Regelfunktion? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Warum gilt der Satz von Rolle? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was ist Vollständige Induktion? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Satz von Stokes? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was ist ein Maßtensor? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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