|
Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
|
Organization
Welcome Activities
Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet die Trapezregel? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie integriert man rationale Funktionen? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Was sind halbstetige Funktionen? Was ist eine Regelfunktion? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist ein Maßtensor? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet der Satz von Gauß? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet der Satz von Stokes? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lautet der Schrankensatz? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Warum gilt der Satz von Rolle? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Seien A und B Mengen. Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was ist Vollständige Induktion? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist eine Metrik? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie lautet der Satz von Baire? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Was sind uneigentliche Integrale? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Gib je zwei Beispiele an für Was ist eine Potenzreihe? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
|
|
