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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie lautet der Satz von Stokes? Warum gilt der Satz von Rolle? Was ist eine Potenzreihe? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wo sind Potenzreihen stetig? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Satz von Baire? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Seien A und B Mengen. Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was ist eine Metrik? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was sind uneigentliche Integrale? Wie lautet die Trapezregel? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was ist ein Maßtensor? Gib je zwei Beispiele an für Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was ist eine Regelfunktion? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was sind halbstetige Funktionen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lautet der Schrankensatz? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet der Satz von Fubini? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was ist Vollständige Induktion? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? | |||
Last change: Sep. 1, 2009
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