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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Was ist Vollständige Induktion? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was sind halbstetige Funktionen? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lautet der Schrankensatz? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet die Trapezregel? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Satz von Stokes? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was sind Lebesgue-Nullmengen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was ist ein Maßtensor? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie integriert man rationale Funktionen? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Gib je zwei Beispiele an für Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist eine Regelfunktion? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie lautet der Satz von Gauß? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Seien A und B Mengen. Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Was ist eine Metrik? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lautet der Satz von Fubini? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Was sind uneigentliche Integrale? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lautet der Satz von Baire? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was ist eine Potenzreihe? Was ist die Krümmung einer Kurve? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? | |||
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