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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie integriert man rationale Funktionen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lautet der Satz von Fubini? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Satz von Gauß? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lautet der Satz von Baire? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet die Trapezregel? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lautet der Schrankensatz? Gib je zwei Beispiele an für Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was ist eine Potenzreihe? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was sind halbstetige Funktionen? Was ist ein Maßtensor? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Seien A und B Mengen. Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was sind uneigentliche Integrale? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Warum divergiert die harmonische Reihe? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was ist die Krümmung einer Kurve? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was ist eine Metrik? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist eine Regelfunktion? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? | |||
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