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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Was ist ein Maßtensor? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie integriert man rationale Funktionen? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wo sind Potenzreihen stetig? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Warum gilt der Satz von Rolle? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Seien A und B Mengen. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was ist eine Metrik? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Was ist eine Potenzreihe? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was sind uneigentliche Integrale? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Satz von Baire? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet die Trapezregel? Was ist eine Regelfunktion? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Gib je zwei Beispiele an für Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lautet der Schrankensatz? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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