Winter 2009/2010

203 Kernfragen der Analysis

Zum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge.

Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Warum gilt der Satz von Rolle?
Skizziere einen Beweis!

Wie lautet die Hölder-Ungleichung?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Was ist eine obere Schranke für A?
Wann heißt A nach oben beschränkt?

Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt,     ∫ dx/x,     ∫ (x+1)^1/n dx,     ∫ dx/(1+x²),     ∫ x^α dx, für α ≠ -1.

Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R ausdrücken?

Wie lautet der Satz von Stokes?
Erlätere die auftretenden Terme!

Was ist eine Lebesgue-Nullmenge?

Was ist die Krümmung einer Kurve?

Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden?

Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal diferenzierbar.
Wie lassen sich Konvexität und strikte Konvexität durch Bedingungen an die zweite Ableitung ausdrücken?

Wie hängen Integration und Differentiation zusammen?

Was ist ein Atlas einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve?

Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist.

Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R → R wieder Intervalle?
Sind stetige Bilder offener Intervalle wieder offene Intervalle?

Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert?

Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen?

Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ?

Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf C_c⁰(R^N, R) gibt es?

Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen?
Wie berechnest Du speziell das Volumen der 3-dimensionalen Kugel?

Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare Mengen?
Gib Beispiele an.

Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum?

Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Wie sind Supremum und Infimum von A definiert?
Wann besitzt A ein Supremum?

Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ?

Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend?
Gib außerdem je ein Beispiel eines zusammenhängenden und eines nicht zusammenhängenden Raumes!

Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Gib ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.

Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi?
Warum gilt er?
Beweise!

Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar?

Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im R^N integrieren?

Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann existieren sie?
Wann stimmen Limes superior und Limes inferior überein?

Was ist eine Regelfunktion?
Welche äquivalenten Charakteriesierungen gibt es (wenigstens 2)?

Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k), und welche Rekursionsformel erfüllen sie?
Wie lässt sich die Rekursionsformel kombinatorisch (d.h. als Abzählung von Teilmengen) interpretieren?

Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt ein metrischer Raum total unzusammenhängend?

Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?

Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration x_n+1 = g(x_n) (mindestens) einen Fixpunkt?

Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen?

Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert?

Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy?
Warum gilt es?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei 1 ≤ p < q < +∞.)
(a) Ist f in L^p beschränkt, so ist f in L^q.
(b) Ist f in L^q beschränkt, so ist f in L^p.
(c) Ist f in L^p und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^q.
(d) Ist f in L^q und Vol(supp f) < ∞, so ist f in L^p.

Wie lauten die Regeln von de L'Hospital?

Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R, D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche, die ihr Supremum nicht annehmen.
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung nimmt eine stetige Funktion auf einer Menge D ihr Supremum an?

Was ist die Umkehrfunktion von exp(x).
Welche Funktionalgleichung erfüllt sie?
Wo ist sie definiert? Wo ist sie stetig?

Wann existiert die Inverse f^-1 einer stetigen Funktion f: [a,b] → R ?
Wann ist die Inverse stetig?

Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen?

Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen?

Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum?

Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g?

Wie sind die Banachräume L^p definiert?

Wann heißt ein metrischer Raum vollständig?

Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen?

Was ist eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!

Gib je zwei Beispiele an für
(a) Regelfunktionen und
(b) Funktionen, die keine Regelfunktionen sind.

Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)?
Wie lautet der Satz von Rolle?

Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: Rⁿ → R^m richtig, welche falsch?
(a) Partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig.
(b) Diffenzierbare Abbildungen sind stetig.
(c) Partiell differenzierbare, stetige Abbildungen sind differenzierbar.
(d) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind differenzierbar.
(e) Stetig partiell differenzierbare Abbildungen sind stetig differenzierbar.

Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert?

Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig?

Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert?

Wie lautet der Binomische Lehrsatz?
Beweise damit die folgende Identität:
Die Summe der Binomialkoeffizienten (n über k) für k von 0 bis n beträgt 2ⁿ.

Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren?

Wie hängen e^z, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen?

Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln.

Wie lautet der Schrankensatz?
Warum gilt der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) nicht in höheren Dimensionen?

Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren folgende Funktionenfolgen gleichmäßig?
f_n(x) = 1 / (1 + n² x²),     f_n(x) = exp(-n x²),     f_n(x) = ∑ (-1)^k x^k, summiert über k von 0 bis n.

Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in x₀=0 ?
(1+x)^α,     log(1+x).

Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen?

Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Bestimme Infimum und Supremum von B.

Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y Fréchet-differenzierbar?
Was ist die Fréchet-Ableitung von f ?

Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind?

Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Gib außerdem jeweils ein nichttriviales Beispiel an.

Wie lautet die Produktregel für Ableitungen?
Warum gilt sie?
Beweise!

Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren?

Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ?

Was ist Vollständige Induktion?

Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rⁿ charakterisieren?

Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden?

Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig stetig?
|x|,     exp(x),     x²,     sin(x),     (x³ + 1) / (x⁴ - 1),     [x] - x.
Hierbei bezeichnet die Gauß-Klammer, [x], die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist N eine Nullmenge, so ist N abzählbar.
(b) Ist N abzählbar, so ist N eine Nullmenge.
(c) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in N, so auch die Vereinigung.
(d) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in Q, so auch die Vereinigung.
(e) Ist N_k eine Nullmenge für jedes k in R, so auch die Vereinigung.
(f) Q ist eine Nullmenge in R.
(g) Ist N eine Nullmenge in Rⁿ und φ in Lip(Rⁿ, Rⁿ), so ist φ(N) eine Nullmenge.

Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)ⁿ und (1+1/n)ⁿ⁺¹ ?

Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in x=0 ?
sin(x) / x,     (cos(x) - 1) / x²,     log(1+x) / x,     x / (e^x - 1).

Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Welche Linearisierung hat die implizit durch x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1 gegebene Funktion x_n(x₁, ..., x_n-1): R^n-1 → R ?

Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W
elche (notwendige) Bedingung ist erfüllt, wenn f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum besitzt?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung besitzt f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum?

Wie lautet das n-te Taylor-Polynom?
Wie kann das Restglied ausgedrückt werden?

Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen?

Wie integriert man rationale Funktionen?
Welche elementaren Integrale muss man dazu kennen?

Wie lautet der Satz von Fubini?

Für welche reellen Exponenten α konvergiert das uneigentliche Integral
∫₀¹ x^α dx,
für welche das uneigentliche Integral
∫₁^∞ x^α dx?

Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Unter welcher (hinreichenden) Bedingung sind stetige Funktionen gleichmäßig stetig?

Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren?

Was ist ein Dedekindscher Schnitt?
Was ist eine Intervallschachtelung?

Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen?

Seien A und B Mengen.
Wann nennt man eine Funktion f: A → B injektiv, wann surjektiv?

Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt?

Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.)

Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫₀^∞ f(t) dt ?

Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig?

Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null?
Gib auch Beispiele an!
Sind rotationsfreie Vektorfelder Gradienten skalarer Funktionen?
Gib auch Beispiele an!

Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g?

Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist.

Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen?

Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent?
Wann heißt sie Cauchy-Folge?

Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli?

Sei U die endliche Menge der Zahlen a₁, a₂, ..., a_N.
Gib eine Funktion f der reellen Zahlen in sich an, die auf U unstetig, auf dem Komplement von U aber stetig ist.

Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
(a) stetig, aber in x₀=0 nicht differenzierbar;
(b) differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig;
(c) differenzierbar, aber in x₀=0 nicht stetig differenzierbar sind.

Für welche reellen α ist |x|^α in x=0 differenzierbar?

Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N?

Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe?
Wie lautet sie?
Wie hängen die Konvergenzradien der Potenzreihen und ihres Produktes zusammen?

Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rⁿ → R ?

Wie lautet die Trapezregel?

Wie sind Häufungswerte einer Folge x_n definiert?

Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale?
Gib Beispiele
(a) absolut konvergenter;
(b) konvergenter aber nicht absolut konvergenter;
(c) nicht konvergenter
uneigentlicher Integrale.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
(a) Ist f in Leb, so sind f⁺, f^- in Leb.
(b) Ist f in Leb, so ist |f| in Leb.
(c) Ist |f| in Leb, so ist f in Leb.
(d) Sind f,g in Leb, so sind max(f,g), min(f,g) in Leb.

Was ist eine rekursiv definierte Folge?
Gib Beispiele an.

Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt x₀ stetig?
Welche äquivalente Definitionen der Stetigkeit gibt es (wenigstens drei verschiedene)?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt?

Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent?

Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!

Welche dieser Folgen konvergieren für n → ∞?
Was sind ggf. ihre Grenzwerte?
n² / (3 n - 2),     (3 n² - 2) / (2 n² + 3),     2ⁿ / (n!),     n^1/n,     q^1/n mit reellem q.

Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b?

Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen Zahlen R (mit deren Standardmetrik)?
Z,     Q,     (1/2,1) ∪ (1/3,1/2) ∪ (1/4,1/3) ∪ (1/5,1/4) ∪ ....

Wie lautet das Wohlordnungsprinzip?

Was ist eine Potenzreihe?
Was ist ihr Konvergenzradius?
Wie berechnet er sich?

Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren? Welche konvergieren absolut?
∫₁^∞ sin(x) dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x)/x² dx,
∫₁^∞ sin(x²) dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x dx,     ∫₁^∞ sin(x²)/x² dx.

Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rⁿ → R^m ?

Was ist eine Metrik?
Gib außerdem drei verschiedene Beispiele!

Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar?
Wie lautet ihre Ableitung?

Was bedeuten die Landau-Symbole o(h), O(h²) und o(1)?
Wie lassen sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit mit ihrer Hilfe ausdrücken?

Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen?

Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ?

Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen?
Was ist ein Banachraum?

Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an.

Was sind Lebesgue-Nullmengen?
Gib wenigstens zwei verschiedene Charakterisierungen an!

Sei U eine konvexe Teilmende des Rⁿ. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f: U → R richtig, welche falsch?
(a) Konvexe Funktionen sind stetig.
(b) Konvexe Funktionen sind im Inneren des Definitionsbereiches stetig.
(c) Konvexe Funktionen sind zweimal differenzierbar und haben in jedem Punkt eine positiv semidefinite zweite Ableitung.
(d) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) positiv semidefiniter Hesse-Matrix sind konvex.
(e) Zweimal differenzierbare Funktionen mit (überall) (strikt) positiv definiter Hesse-Matrix sind strikt konvex.
(f) Konvexe Funktionen nehmen ihr Minimum an.
(g) Konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten nehmen ihr Minimum an.
(h) Strikt konvexe Funktionen besitzen höchstens ein Minimum.
(i) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein lokales Minimum.
(j) Strikt konvexe Funktionen auf kompakten Gebieten besitzen genau ein Minimum.

Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge?

Was ist eine "Zerlegung der Eins?"

Wie lautet der Satz von Gauß?
Erlätere die auftretenden Terme!

Was ist der Gradient der Abbildung f: Rⁿ\{0} → R, f(x) = ||x||^-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet?

Wie kann man die Elemente in L¹ als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren?

Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n+1)/2.

Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig approximiert werden?
Mit welcher Grundidee lassen sich approximierende Polynome zu einer gegebenen Funktion f konstruieren?

Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f^-1 ?

Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung (global) Lipschitz-stetig?
Beweise!

Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen?

Für welche komplexen q existiert die Summe der Potenzen qⁿ über alle natürlichen n?
Welchen Wert hat die Summe?

Wie ist der Raum BC¹(R,R) definiert?
Was bedeutet seine Vollständigkeit für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung einer Funktionenfolge f_n: R → R?

Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S² mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes!

Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl?

Was ist ein Maßtensor?
Was ist die Gramsche Determinante?
Wozu dient sie?

Warum konvergiert die Reihe ∑ k^-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ?

Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie?

Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem Punkt x₀ differenzierbar?
Wie lässt sich die Ableitung geometisch interpretieren?

Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert?

Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z?

Wann nennt man eine Folge x_n reeller Zahlen konvergent und wann divergent?

Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?

Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
∑ 1 / n,     ∑ (-1)ⁿ / n,     ∑ (-1)ⁿ / n²,     ∑ xⁿ / (n!) mit komplexem x.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer 2π-periodischen Funktion f: R → C?
Wie lautet die Fourier-Reihe zu f?
In welchem Sinn und wogegen konvergiert die Fourier-Reihe?

Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f in Cⁿ⁺¹(U,Y), U offene Teilmenge von X, in einem Punkt x₀ aus U ?
Welche Darstellungen/Abschätzungen des Restgliedes kennst Du (wenigstens 3)?

Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
e^x sin(x),     sin(x) / cos(x),     exp(-x²),     log((1+x)/(1-x)),     x^x.

Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rⁿ → R^m durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken?

Was sind halbstetige Funktionen?

Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R konvex?
Wann heißt sie strikt konvex?

Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge f_n: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge?
Beweise!

Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig?

Wo sind Potenzreihen stetig?
Wo sind sie gleichmäßig stetig?

Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen?

Wann heißen zwei Metriken äquivalent?

Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen?

Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß?

Was versteht man unter einer Cantor-Menge?
Gib außerdem ein Beispiel an!

Was sind uneigentliche Integrale?

Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im R^N?

Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rⁿ → R^m und f: R^m → R^l ausdrücken?

Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt.

Wann ist ein metrischer Raum kompakt?
Gib wenigstens 2 verschiedene (aber natürlich äquivalente) Definitionen!
Gib außerdem je ein Beispiel eines kompakten und eines nicht kompakten Raumes!

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei seien f_n in C⁰(K,R^m), K in R^N kompakt.)
(a) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f stetig.
(b) Konvergiert f_n gleichmäßig gegen f, so ist f halbstetig.
(c) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f stetig.
(d) Konvergiert f_n monoton gegen f, so ist f halbstetig.
(e) Konvergiert f_n monoton gegen ein stetiges f, so konvergiert f_n gleichmäßig.

Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)ⁿ + 1/n ?

Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige, reellwertige Funktionen definiert?
Warum ist sie tatsächlich eine Norm?

Was ist der Tangentialraum an eine C^k-Untermannigfaltigkeit des R^N im Punkt x₀?
Gib wenigstens zwei verschiedene Definitionen/Charakterisierungen an!
Was ein Normalenvektor?

Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R.

Wie ist das Lebesgue-Integral definiert?

Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rⁿ → R kennst Du?

Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht?

Wie lautet der Zwischenwertsatz?

Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend?

Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen?

Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen?

Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen?
Bei welchen der folgenden Reihen gibt das Quotientenkriterium Aufschluss über Konvergenz oder Divergenz?
∑ (n!) / (nⁿ),     ∑ 1 / n²,     ∑ 1 / (3 + (-1)ⁿ)ⁿ.
(Summiert wird jeweils über n von 1 bis ∞.)

Wie lautet der Satz von Baire?

Wie ist die allgemeine Potenz x^α für komplexe α und positive, reelle x definiert?

Wie ist das Riemann-Integral definiert?

Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf der Einheitssphäare an?
Beweise!

Warum divergiert die harmonische Reihe?

Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren?

Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen?

Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz?