|
Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
|
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet der Satz von Baire? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was ist eine Regelfunktion? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Seien A und B Mengen. Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wie lautet der Satz von Stokes? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Was ist eine Potenzreihe? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Warum gilt der Satz von Rolle? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lautet der Satz von Gauß? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Gib je zwei Beispiele an für Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was ist ein Maßtensor? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was sind uneigentliche Integrale? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was sind halbstetige Funktionen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Was ist eine Metrik? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Warum divergiert die harmonische Reihe? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lautet die Trapezregel? Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist Vollständige Induktion? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was ist die Krümmung einer Kurve? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
|
| |||
