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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was ist Vollständige Induktion? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Zwischenwertsatz? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Seien A und B Mengen. Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was ist eine Metrik? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie integriert man rationale Funktionen? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie lautet der Satz von Gauß? Was ist ein Maßtensor? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was ist eine Regelfunktion? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was ist eine Potenzreihe? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie lautet die Trapezregel? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wie lautet der Satz von Baire? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie lautet der Schrankensatz? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Gib je zwei Beispiele an für Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Was sind uneigentliche Integrale? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet der Satz von Fubini? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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