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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was ist eine Regelfunktion? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Gib je zwei Beispiele an für Was ist eine Metrik? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wie lautet der Satz von Baire? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was sind halbstetige Funktionen? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lautet der Satz von Gauß? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Was sind uneigentliche Integrale? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Was ist ein Maßtensor? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet der Schrankensatz? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet der Satz von Fubini? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Seien A und B Mengen. Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie integriert man rationale Funktionen? Warum gilt der Satz von Rolle? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie lautet der Satz von Stokes? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was ist die Krümmung einer Kurve? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was ist eine Potenzreihe? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wo sind Potenzreihen stetig? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lautet die Trapezregel? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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