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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet der Satz von Fubini? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet der Schrankensatz? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie lautet der Satz von Stokes? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet der Satz von Baire? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lautet der Satz von Gauß? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Seien A und B Mengen. Gib je zwei Beispiele an für Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Warum divergiert die harmonische Reihe? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie integriert man rationale Funktionen? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Warum gilt der Satz von Rolle? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet die Trapezregel? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Was ist eine Potenzreihe? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was ist eine Metrik? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was ist ein Maßtensor? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was ist eine Regelfunktion? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wo sind Potenzreihen stetig? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was sind halbstetige Funktionen? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was sind uneigentliche Integrale? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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