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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Gib je zwei Beispiele an für Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Was sind uneigentliche Integrale? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Satz von Gauß? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Seien A und B Mengen. Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was ist eine Potenzreihe? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lautet der Satz von Fubini? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Warum gilt der Satz von Rolle? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Was ist eine Regelfunktion? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lautet die Trapezregel? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was ist ein Maßtensor? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was ist eine Metrik? Was ist Vollständige Induktion? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was sind halbstetige Funktionen? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wo sind Potenzreihen stetig? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet der Schrankensatz? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet der Satz von Baire? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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