|
Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
Organization
Welcome Activities
Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Was ist eine Potenzreihe? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet die Trapezregel? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie integriert man rationale Funktionen? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet der Schrankensatz? Seien A und B Mengen. Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wie lautet der Satz von Stokes? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Warum divergiert die harmonische Reihe? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Was sind halbstetige Funktionen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was sind uneigentliche Integrale? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was ist Vollständige Induktion? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Wie lautet der Satz von Baire? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Gib je zwei Beispiele an für Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was ist eine Metrik? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Was ist ein Maßtensor? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was ist eine Regelfunktion? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lautet der Satz von Fubini? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Warum gilt der Satz von Rolle? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wo sind Potenzreihen stetig? | |||
![]() |
|