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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Warum gilt der Satz von Rolle? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was ist eine Metrik? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie lautet der Schrankensatz? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Seien A und B Mengen. Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Was ist eine Potenzreihe? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie lautet der Satz von Fubini? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lautet der Satz von Gauß? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was ist Vollständige Induktion? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was ist ein Maßtensor? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wo sind Potenzreihen stetig? Was sind uneigentliche Integrale? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie lautet der Satz von Baire? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Gib je zwei Beispiele an für Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie integriert man rationale Funktionen? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Was ist eine Regelfunktion? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wie lautet der Satz von Stokes? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lautet die Trapezregel? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was sind halbstetige Funktionen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? | |||
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