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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Seien A und B Mengen. Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Gib je zwei Beispiele an für Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Wie lautet der Satz von Baire? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Was ist eine Regelfunktion? Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Warum gilt der Satz von Rolle? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Was sind uneigentliche Integrale? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet die Trapezregel? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist eine Metrik? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie integriert man rationale Funktionen? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Was ist ein Maßtensor? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was ist eine Potenzreihe? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Wie lautet der Schrankensatz? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet der Satz von Fubini? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Was ist Vollständige Induktion? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Was sind halbstetige Funktionen? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Warum divergiert die harmonische Reihe? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? | ||||
Last change: Sep. 1, 2009
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