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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Seien A und B Mengen. Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wo sind Potenzreihen stetig? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Warum gilt der Satz von Rolle? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet der Satz von Fubini? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was sind halbstetige Funktionen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Was sind uneigentliche Integrale? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Wie lautet der Satz von Baire? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Gib je zwei Beispiele an für Was ist Vollständige Induktion? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wie lautet der Schrankensatz? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Wie sind die Banachräume Lp definiert? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Was ist eine Metrik? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Was ist eine Regelfunktion? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was ist eine Potenzreihe? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wie integriert man rationale Funktionen? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Zwischenwertsatz? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Was ist ein Maßtensor? Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Wie lautet die Trapezregel? Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Warum divergiert die harmonische Reihe? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Was ist eine rekursiv definierte Folge? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? | |||
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