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Nonlinear Dynamics at the Free University Berlin | |||
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Publications Research Group Nonlinear Dynamics
Dr. A. López-Nieto |
Winter 2009/2010 203 Kernfragen der AnalysisZum Selbsttest nachfolgend alle bisherigen Kernfragen in zufälliger Reihenfolge. Welche der folgenden Reihen konvergieren, welche konvergieren absolut?
Was sagt der Satz von Beppo Levi über monotone Folgen Lebesgue-integrierbarer Funktionen? Für welche reellen α ist |x|α in x=0 differenzierbar? Ist eine Fréchet-differenzierbare Abbildung f zwischen Banachräumen immer stetig? Was ist der Gradient der Abbildung f: Rn\{0} → R, f(x) = ||x||-1, wobei || • || die euklidische Norm bezeichnet? Welche Werte haben die stetigen Fortsetzungen folgender Funktionen in
x=0 ? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Es sei
1 ≤ p < q < +∞.) Wie kann man die Elemente in L1 als Grenzwerte glatter Funktionen mit kompaktem Träger charakterisieren? Wie werden stetige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integriert? Was ist Vollständige Induktion? Wie lautet die Hölder-Ungleichung für integrierbare Funktionen? Wie lässt sich die Linearisierung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → Rl ausdrücken? Was ist die Krümmung einer Kurve? Wie lautet das Wohlordnungsprinzip? Wie lautet der Satz von Baire? Sind die charakteristischen Funktionen von offenen Mengen oberhalb- oder unterhalbstetig? Wie ist die Gamma-Funktion definiert, und welche Funktionalgleichung erfüllt sie? Wie berechnet sich der Schnittwinkel zweier Kurven auf einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wie sind Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes definiert?
Was ist die zu einer (komplexen) Zahl z komplex konjugierte Zahl? Wie lautet die Transformationsformel für Integrale stetiger Funktionen mit kompaktem Träger im RN? Was sind die Ableitungen folgender Funktionen nach x?
Wann ist das Produkt zweier Potenzreihen wieder eine Potenzreihe? Warum ist der Raum der beschränkten, stetigen Funktionen, BC(D,R), mit der Supremums-Norm ein Banachraum? Welche der folgenden Aussagen sind für Abbildungen f:
Rn → Rm richtig, welche falsch?
Wie lautet die Taylor-Approximation einer Funktion f
in Cn+1(U,Y), U offene
Teilmenge von X, in einem Punkt
x0 aus U ? Wie lautet der Konvergenzsatz von Beppo Levi? Welche monotonen Folgen besitzen einen Grenzwert? Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? Was ist ein Atlas einer Ck-Untermannigfaltigkeit des RN? Wann heißt eine reellwertige Funktion auf einer Teilmenge
D der reellen Zahlen gleichmäßig stetig?
Wann ist ein metrischer Raum zusammenhängend? Wie lautet der Satz von Fubini? Ist die Rotation des Gradienten einer skalaren Funktion Null? Warum hat jede durch eine stetige Funktion g: [0,1] → [0,1] gegebene Iteration xn+1 = g(xn) (mindestens) einen Fixpunkt? Was sind die erste und zweite Ableitung des Skalarproduktes < •, • > : H x H → R im Hilbertraum H ? Was sind Abschluss, Inneres und Rand folgender Teilmengen der reellen
Zahlen R (mit deren Standardmetrik)? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Wie lautet das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Was sind halbstetige Funktionen? Wie lautet das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ∫0∞ f(t) dt ? Was sind die Häufungswerte der Folge (-1)n + 1/n ? Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli? Wie lauten Wurzel- und Quotientenkriterium für die Konvergenz
unendlicher Reihen? Sei f: R → R eine differenzierbare Funktion. W Sei X ein metrischer Raum. Formuliere und beweise den Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen f: X → R. Sei B die Menge aus 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, usw.
Wie lautet der Banachsche Fixpunktsatz? Was ist die Umkehrfunktion von exp(x). Für welche reellen Exponenten α konvergiert
das uneigentliche Integral Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Sei U eine konvexe Teilmende des
Rn. Welche der folgenden Aussagen sind
für Abbildungen f: U → R richtig, welche
falsch? Welche dieser Folgen konvergieren für n →
∞? Wie hängen ez, sin(z), cos(z) im Komplexen zusammen? Welche der folgenden uneigentlichen Riemann-Integrale existieren?
Welche konvergieren absolut? Was sind Limes superior und Limes inferior einer reellwertigen Folge?
Was bedeuten die Landau-Symbole o(h),
O(h2) und o(1)? Welche hinreichenden zusätzlichen Voraussetzungen an oberhalb- bzw. unterhalbstetige Funktionen f, g und reelle Zahlen λ kennst Du, um sicherzustellen, dass f+g, fg, λ f, f o g wieder oberhalb- bzw. unterhalbstetig sind? Was sind die Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y ? Was ist die Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl n zur Basis b? Wie lautet der Satz über implizite Funktionen? Wie lauten die Dastellungen von exp(x), sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x) als Potenzreihen? Was bedeutet absolute Konvergenz uneigentlicher Integrale? Was bedeutet die Äquivalenz durch Normen induzierter Metriken für diese Normen? Wie lauten Quotienten- und Kettenregel für Ableitungen? Wie sind Abschluss, Inneres und Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Warum divergiert die harmonische Reihe? Wie sind Häufungswerte einer Folge xn definiert? Wie ist die Supremums-Norm für beschränkte, stetige,
reellwertige Funktionen definiert? Welche Funktionen können durch Polynome gleichmäßig
approximiert werden? Wie lauten die Taylor-Reihen folgender Funktionen in
x0=0 ? Was sagt der Satz zur majorisierten Konvergenz über die Vertauschbarkeit von Lebesgue-Integral und Grenzwert einer Funktionenfolge? Welche dieser Funktionen sind stetig, welche gleichmäßig
stetig? Was ist ein Maßtensor? Wie ist der Raum BC1(R,R) definiert? Gib ein Beispiel einer Menge reeller Zahlen an, die ein Supremum aber kein Maximum besitzt. Wie kann man Volumina von Körpern bestimmen? Auf welchen (möglichst großen) Intervallen konvergieren
folgende Funktionenfolgen gleichmäßig? Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstraß? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend? Wann heißt eine Funktion f auf einer Teilmende D der reellen bzw. komplexen Zahlen stetig? Wann heißt eine Funktion f: R → R in einem
Punkt x0 differenzierbar? Was sind die Fourierkoeffizienten zu einer
2π-periodischen Funktion f: R →
C? Was ist eine Lebesgue-Nullmenge? Warum konvergiert die Reihe ∑ k-α, summiert über k von 1 bis ∞, für α > 1 ? Kann man Limes superior und/oder Limes inferior auch für komplexwertige Folgen definieren? Welche Linearisierung hat die implizit durch x12 + x22 + ... + xn2 = 1 gegebene Funktion xn(x1, ..., xn-1): Rn-1 → R ? Wie lautet der Cauchysche Integralsatz für komplex differenzierbare Funktionen? Wie ist die allgemeine Potenz xα für komplexe α und positive, reelle x definiert? Unter welchen Voraussetzungen an eine Funktionenfolge halbstetiger Funktionen lassen sich Integral und Grenzwert bzw. Supremum vertauschen? Wie hängen Fréchet-Ableitung und Gateaux-Ableitungen einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y zusammen? Sind die Bilder von Intervallen unter stetigen Abbildungen f: R
→ R wieder Intervalle? Wie lautet der Satz von Gauß? Wie lässt sich unter Benutzung des Zwischenwertsatzes zeigen, dass die Gleichung exp(x) = -x eine reelle Lösung besitzt? Wo nimmt eine symmetrische quadratische Form ihr Maximum/Minimum auf
der Einheitssphäare an? Was sind uneigentliche Integrale? Was ist eine "Zerlegung der Eins?" Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass für alle
natürlichen Zahlen n gilt: Wie sind die Banachräume Lp definiert? Wie lautet der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)? Wann nennt man eine Folge xn reeller Zahlen konvergent und wann divergent? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen kompakter Mengen wieder kompakt? Was ist ein Dedekindscher Schnitt? Wieviele lineare, monotone und translationsinvariante Funktionale auf Cc0(RN, R) gibt es? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann absolut konvergent? Für welche komplexen q existiert die Summe der
Potenzen qn über alle natürlichen
n? Wie lautet die Trapezregel? Welche notwendigen und welche hinreichenden Bedingungen für die Existenz lokaler Maxima/Minima einer Funktion f: Rn → R kennst Du? Wie lässt sich die zweite Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was versteht man unter einer Cantor-Menge? Die Funktion f: (a,b) → R sei zweimal
diferenzierbar. Gib ein Beispiel einer Funktionenfolge fn: [0,1] → [0,1] an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. Zeige, dass das kartesische Produkt der Menge der natürlichen Zahlen mit sich selbst abzählbar ist. Unter welcher hinreichenden Bedingung ist eine Abbildung f: X → X lokal invertierbar? Wie lässt sich die zweite Ableitung einer Verkettung f o g durch die partiellen Ableitungen der Abbildungen g: Rn → Rm und f: Rm → R ausdrücken? Wie lautet der große Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Warum gilt der Satz von Rolle? Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung der Verkettung f o g? Was ist eine rekursiv definierte Folge? Was sind Supremum und Infimum der Folgen (1+1/n)n und (1+1/n)n+1 ? Wie lautet der Binomische Lehrsatz? Wie lautet die Kettenregel für die zweite Ableitung der Verkettung f o g? Wann heißt ein metrischer Raum vollständig? Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wie lautet das n-te Taylor-Polynom? Wie sind offene Teilmengen eines metrischen Raumes definiert, wie abgeschlossene Teilmengen? Wie lauten die Regeln von de L'Hospital? Was sind Lebesgue-Nullmengen? Was ist eine Metrik? Welchen elementaren Funktionen entsprechen folgende unbestimmte Integrale? ∫ sin(t) dt, ∫ dx/x, ∫ (x+1)1/n dx, ∫ dx/(1+x2), ∫ xα dx, für α ≠ -1. Gib stetige, reellwertige Funktionen f: D → R,
D ⊆ R, an, die ihr Supremum annehmen, und solche,
die ihr Supremum nicht annehmen. Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? Was ist eine Regelfunktion? Sind unter einer stetigen Abbildung f: X → Y zwischen metrischen Räumen die Bilder/Urbilder offener/abgeschlossener/zusammenhängender/kompakter Teilmengen wieder offen/abgeschlossen/zusammenhängend/kompakt ? Wie hängen Integration und Differentiation zusammen? Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (Hierbei
seien fn in
C0(K,Rm), K in
RN kompakt.) Warum sind stetig differenzierbare Funktionen mit beschränkter
Ableitung (global) Lipschitz-stetig? Was sind generische Mengen? Was sind magere Mengen? Wann heißt eine Funktion f: (a,b) → R
konvex? Wann darf man die Reihenfolge der zweiten partiellen Ableitungen vertauschen? Wie lauten die Regeln für partielle Integration und Substitution?
Welche hinreichenden Bedingungen an eine Folge Lebesgue-integrierbarer Funktionen gibt es, um Integral und Grenzwert vertauschen zu dürfen? Wo sind Potenzreihen stetig? Wann heißt eine Funktion f in einem Punkt
x0 stetig? Seien A und B Mengen. Was bedeutet Konvergenz in einem normierten Vektorraum? Sind endliche/abzählbare/beliebige Durchschnitte/Vereinigungen offener/abgeschlossener Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen? Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wann heißt eine Abbildung f: X → Y zwischen
Banachräumen X und Y
Fréchet-differenzierbar? Wie lautet der Satz von Stokes? Wie berechnet sich die (Bogen-)Länge einer Kurve? Wie lassen sich Integrale dank der Trapezregel approximieren? Was ist eine Dirac-Folge? Gib eine Definition und wenigstens ein Beispiel an. Wieviele Minima kann eine strikt konvexe Funktion f: [a,b] → R haben? (Gib alle möglichen Zahlen an.) Wie lautet der Schrankensatz? Wann ist ein metrischer Raum kompakt? Wie kann man die Lebesgue-integrierbaren Funktionen durch Grenzwerte stetiger Funktionen charakterisieren? Wie kann man halbstetige Funktionen integrieren? Wie lautet die Hölder-Ungleichung? Was ist eine Potenzreihe? Wie lautet die Stirling-Formel zur Approximation von n! ? Wie lassen sich die kompakten Teilmengen des Rn charakterisieren? Was ist der Tangentialraum an eine
Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN im Punkt x0?
Wann heißt eine Abbildung zwischen metrischen Räumen
stetig? Warum ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge eine
Cauchy-Folge? Wann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes dicht? Warum bezeichnet der Gradient die “Richtung des steilsten Anstiegs” einer Funktion f: Rn → R ? Wie lautet die Integraldarstellung des Restgliedes der Taylorentwicklung? Was ist ein normierter Vektorraum über den reellen bzw. komplexen
Zahlen? Definiere die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen mit geeigneten Additions- und Multiplikationsregeln. Wann besitzt eine Funktion f: R → R eine differenzierbare Umkehrfunktion f-1 ? Sei U die endliche Menge der Zahlen
a1, a2, ...,
aN. Wie lässt sich die Fréchet-Ableitung einer Abbildung f: Rn → Rm durch ihre partiellen Ableitungen ausdrücken? Was sind die Binomialkoeffizienten (n über k),
und welche Rekursionsformel erfüllen sie? Wo sind (reelle) Potenzreihen differenzierbar? Wie lauten Cauchy-, Majoranten-, Verdichtungs- und Leibniz-Kriterium für die Konvergenz unendlicher Reihen? Wann existiert die Inverse f-1 einer
stetigen Funktion f: [a,b] → R ? Gib eine Fuktion f der reellen Zahlen in sich an, die nirgends stetig ist. Wie integriert man rationale Funktionen? Wann dürfen Regelintegral und Grenzwert einer Funktionenfolge vertauscht werden? Was ist der Betrag einer komplexen Zahl z? Was sind die partiellen Ableitungen einer Abbildung f: Rn → Rm ? Wie ist die zweite (Fréechet-)Ableitung einer Abbildung f: X → Y zwischen Banachräumen X und Y definiert? Was sind die zweiten Gateux-Ableitungen? Wann heißt eine Folge in einem metrischen Raum konvergent? Wie lautet die Produktregel für Ableitungen? Wie kann man stetige Funktionen mit kompaktem Träger im RN integrieren? Wann heißen zwei Metriken äquivalent? Wie ist das Riemann-Integral definiert? Was ist eine Ck-Untermannigfaltigkeit des
RN? Wie kann das Lebesgue-Integral als Grenzwert von Integralen halbstetiger Funktionen definiert werden? Wie ist das Integral einer Regelfunktion definiert? Gib Beispiele für Funtionen f: R → R an, die
Welche Beziehung herrscht zwischen dem Gradient und den Niveauflächen { f = konstant } einer Funktion f: Rn → R ? Wann (und wo) wird eine Funktion durch ihre Taylor-Reihe dargestellt?
Wieviele Häufungswerte kann eine beschränkte, reellwertige Folge mindestens/höchstens besitzen? Was sind endliche, abzählbare bzw. überabzählbare
Mengen? Bestimme die Oberfläche der 2-Sphäre S2 mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes! Wie lautet der kleine Umordnungssatz absolut konvergenter Reihen? Gib je zwei Beispiele an für Wie lautet der Zwischenwertsatz? | |||
Last change: Sep. 1, 2009 |
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