Sommersemester 2017

Proseminar Geschichte(n) der Analysis

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Hannes Stuke

Termin

Mittwoch, 10.15-11:45, Arnimallee 3, Raum 140 (Hinterhaus)

Vorbesprechung:
Donnerstag, 16.02.2017, 11:15, Hörsaal A, Arnimallee 14.

Inhalt

Wir wollen den Ursprüngen einiger Sternstunden der Analysis nachspüren. Wir wollen üben gut vorzutragen, aber vor allem den Blick auf die Mathematik in Geschichte und Gegenwart erweitertern.

Literatur

• J.A. Adam: The mathematical physics of rainbows and glories, Physics reported 356(2002), 229-365
• V.I. Arnol'd: Catastrophe theory, Springer, 1992
• V.I. Arnol'd: Geometrical methods in the theory of ordinary diferential equations, Springer, 1983
• V.I. Arnol'd: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2001
• E. Behrends, B. Fiedler: Periods of discretized linear Anosov maps, Erg. Th. Dyn. Syst. 18(1998), 331-341
• J.H. Conway: Zahlenzauber, Birkhäuser, 1997
• R. Courant, H.Robbins: Was ist Mathematik, Springer, 2000
• W. Dunham: The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, 2008
• C.F. Gauss: Nachlass. Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3, Königlichen Gesell. Wiss.,Göttingen, 1876, 361-403
• E. Hairer, G. Wanner: Analysis by its History, Springer, 2000
• B. Hasselblatt and A. Katok. A first course in dynamics - with a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press, 2003.
• P. Hindemith: Komponist in seiner Welt, Atlantis Verlag, 1959
• Ibn al-Haytham: Book of Optics, 1021.
• V.J. Katz: A History of Mathematics, Harper Collins, New York, 1993
• J. Kepler: Harmonice mundi, 1619
• A. Khintchine, Kettenbrüche, Teubner 1956
• K. Königsberger: Analysis 1, Springer 1990
• E. Ott: Chaos in dynamical systems. Cambridge University Press, 1993
• B. Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, Monatsberichte der Berliner Akademie, Nov 1859
• O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Springer 1977.
• W. Al-shameri and M. Mahiub, Some Dynamical Properties of the Family of Tent Maps. Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 7. 2013.
• G.F. Simmons: Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics, McGraw-Hill, 1992
• E. Stein, R. Shakarchi: Complex analysis, Princeton Univ. Press
• B. Sury: The arithmetico-geometric mean of Gauss, Resonance 5(2000), Springer India
• The MacTutor History of Mathematics archive

Zielgruppe

Studierende des 2.-4. Semesters

Voraussetzungen

Lineare Algebra I, Analysis I

Vortragsthemen

Ibn-al-Haytham's Optik und Fermat's Prinzip

• Pflicht: Beweis des Brechungsgesetzes von Ibn-al-Haytham und Fermat's Prinzip, [ Wikipedia ]
• Kür: Originale Beweise finden. Hat Fermat abgeschrieben? [Ibn al-Haytham: Book of Optics, 1021]

Regenbögen und Kaustiken

• Pflicht: Winkel des Regenbogens, Kaustiken [Wikipedia; Arnold, Catastrophe theory; auch Adam]
• Kür: Lichtbrechung im Wassertropfen, Extremwerte, Kaustiken, Wellenlängenabhängigkeit, mehrfache Regenbögen

Kettenbrüche und das Wohltemperierte Klavier

• Pflicht: Rationale Bestapproximation [Arnold, Geometrical methods, 3.11.L; Hindemith, Komponist in seiner Welt]
• Kür: [Leonhard Euler, Johan Heinrich Lambert, ..., Carl Friedrich Gauß, ...]

Die Kettenbruch-Abbildung

• Pflicht: Darstellung der Kettenbruch-Abbildung, Chaos [Arnold, Geometrical methods, 3.11.L; O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen; A. Khintchine, Kettenbrüche]
• Kür: Periodische Orbits sind dicht, Schmetterlingseffekt, invariantes Maß.

Iterationen des Einheitsintervalls

• Pflicht: Diskussion der Tent map für interessante Parameter. [E. Ott, Chaos in dynamical systems. Cambridge University Press, 1993; W. Al-shameri and M. Mahiub, Some Dynamical Properties of the Family of Tent Maps; B. Hasselblatt and A. Katok, A first course in dynamics.]
• Kür: Numerische Simulationen, Periodenverdopplung, Chaos, invariantes Maß

Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt

• Pflicht: Exponentialansatz, Goldener Schnitt als Kettenbruch Arnold, Gewöhnliche Dgl., 3.17.3, 3.25.5]
• Kür: 2-Term-Rekursionen, Matrix-Iteration, Jordansche Normalform und Exponentialansatz, Blüten, Tannenzapfen, Goldener Schnitt als irrationales Verhältnis der Fibonacci-Zahlen, mit Zirkel und Lineal, im 5-Eck

Mercator und die Winkeltreue

• Pflicht: Warum Integral 1/cos? Wert des Integrals [Wikipedia; Mercator's projection; Katz, A History of Mathematics, Kapitel 10.2]
• Kür: [Gerardus Mercator] Projektionen der Kugel, Winkeltreue vs. komplexe Differenzierbarkeit

Die Kreiszahl und die Annäherungsversuche der Mathematiker

• Pflicht: Arcustangens-Reihe [Katz, A History of Mathematics, Kapitel 12.3]
[..., Archimedes, ..., Madhava, Ludolph van Ceulen, Leonhard Euler, ...]
• Kür: Kreisvermessung, geometrische oder algebraische Definition, Approximationen, Quadratur des Kreises, Irrationalität, Transzendenz

Riemanns Zeta-Funktion und die Primzahlen

• Pflicht: Definition, Produktdarstellung [Riemann, 1. Seite; auch Stein/Shakarchi, ch. 6+7]
• Kür: [Leonhard Euler, Bernhard Riemann, ...] Definition, Divergenz der harmonischen Reihe, Abschätzung der Primzahl-Anzahl, Funktionalgleichung, Riemann-Vermutung

Das Kontinuum und die Transzendenz

• Pflicht: Liouville und Cantor [Dunham, The Calculus Gallery, Kapitel 8+11]
• Kür: [..., Euklid, ... Omar Khayyam, ..., Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, Joseph Liouville, Georg Cantor, Richard Dedekind ...] Rationale, Irrationale, Transzendente, Polynome, rationale Approximierbarkeit, Kettenbrüche, Liouvilles Konstruktion, Cantors Zählung, Goldener Schnitt, Pi, E