Sommersemester 2009

Proseminar Geschichte(n) der Analysis

Prof. Dr. Bernold Fiedler, Dr. Stefan Liebscher

Termin

Freitag, 14.00-15:30, Arnimallee 3, Raum 130 (Hinterhaus)

Vorbesprechung:
Dienstag, 17.2.2008, 11:15, Arnimallee 3, Raum 130 (Hinterhaus)

Inhalt

Wir wollen den Ursprüngen und der einen oder anderen Perle der Analysis nachspüren. Dabei sollen sowohl Vortragsechnik entwickelt und verbessert als auch der Blick auf die Mathematik in Geschichte und Gegenwart erweitert werden.

Literatur

• J.A. Adam: The mathematical physics of rainbows and glories, Physics reported 356(2002), 229-365
• V.I. Arnol'd: Catastrophe theory, Springer, 1992
• V.I. Arnol'd: Geometrical methods in the theory of ordinary diferential equations, Springer, 1983
• V.I. Arnol'd: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2001
• E. Behrends, B. Fiedler: Periods of discretized linear Anosov maps, Erg. Th. Dyn. Syst. 18(1998), 331-341
• J.H. Conway: Zahlenzauber, Birkhäuser, 1997
• R. Courant, H.Robbins: Was ist Mathematik, Springer, 2000
• W. Dunham: The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, 2008
• C.F. Gauss: Nachlass. Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3, Königlichen Gesell. Wiss.,Göttingen, 1876, 361-403
• E. Hairer, G. Wanner: Analysis by its History, Springer, 2000
• P. Hindemith: Komponist in seiner Welt, Atlantis Verlag, 1959
• V.J. Katz: A History of Mathematics, Harper Collins, New York, 1993
• J. Kepler: Harmonice mundi, 1619
• K. Königsberger: Analysis 1, Springer 1990
• B. Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, Monatsberichte der Berliner Akademie, Nov 1859
• G.F. Simmons: Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics, McGraw-Hill, 1992
• E. Stein, R. Shakarchi: Complex analysis, Princeton Univ. Press
• B. Sury: The arithmetico-geometric mean of Gauss, Resonance 5(2000), Springer India
• The MacTutor History of Mathematics archive

Zielgruppe

Studierende des 2.-4. Semesters

Voraussetzungen

Lineare Algebra I, Analysis I, Computerorientierte Mathematik

Vortragsthemen

24. April 2009: Regenbögen und Kaustiken (Lisa Anders & Jale Hayta)

• Pflicht: Winkel des Regenbogens, Kaustiken [Wikipedia; Übungsaufgabe; Arnold, Catastrophe theory, 8; auch Adam]
• Kür: [Ibn al-Haytham, Omar Khayyam, René Descartes, Christiaan Huygens, Pierre de Fermat] Lichtbrechung im Wassertropfen, Extremwerte, Kaustiken, Wellenlängenabhängigkeit, mehrfache Regenbögen

8. Mai 2009: Kepler und die Weltharmonik (Karoline Ott & Florian Sadowski)

• Pflicht: (Nicht-)Konstruierbarkeit regulärer n-Ecke [Kepler, Weltharmonik, 1.Buch, XLV.Satz]; alternativ: Dreiteilung des Winkels [Courant/Robbins, Was ist Mathematik, III.3.3]
• Kür: [Tycho Brahe, Johannes Kepler, Carl Friedrich Gauß, Évariste Galois] Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, (Nicht-)Konstruierbarkeit regulärer n-Ecke, Fermatsche Primzahlen, andere Konstruktionshilfsmittel

15. Mai 2009: Kettenbrüche und das Wohltemperierte Klavier (Isabelle Schneider & Sergej Stoppel)

• Pflicht: Rationale Bestapproximation [Arnold, Geometrical methods, 3.11.L; Hindemith, Komponist in seiner Welt]
• Kür: [John Wallis, Christiaan Huygens, Leonhard Euler, Johan Heinrich Lambert, ..., Carl Friedrich Gauß, ...] Konstruktion, Konvergenz, Approximationsgüte und Koeffizientenwachstum, Resonanzen und Musik, Quinte, log 2 / log 3, chromatische Tonleiter, andere Stimmsysteme

22. Mai 2009: Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt (Stephan Schwartz & Oliver Zwingel)

• Pflicht: Exponentialansatz Arnold, Gewöhnliche Dgl., 3.17.3, 3.25.5]
• Kür: [Plato, Euklid, ..., Leonardo Pisano] 2-Term-Rekursionen, Matrix-Iteration, Jordansche Normalform und Exponentialansatz, Blüten, Tannenzapfen, Kakteen, Zeckendorf-Theorem, Goldener Schnitt als irrationales Verhältnis der Fibonacci-Zahlen, mit Zirkel und Lineal, im 5-Eck, als Kettenbruch

29. Mai 2009: Anosovs Katzenabbildung und der Schmetterlingseffekt (Deborah Kant & Katharina Mölter)

• Pflicht: [Behrends/Fiedler, Einleitung; Arnold, Geometrical methods, 3.13]
• Kür: [Henri Poincaré, ..., Edward Lorenz, Dmitri Anosov, James Yorke] Anosov-Diffeomorphismus, Torus, Schmetterlingseffekt, rationales Gitter und periodische Orbits, stabile und instabile Fasern, dichte Menge homokliner Punkte, Chaos

5. Juni 2009: Gauss und das arithmetisch-geometrische Mittel (Mario Koddenbrock & David Müßig)

• Pflicht: Integralsubstitution [Gauss; Folie; Königsberger, Kap.11 Aufgabe 23; auch Sury, 78-79]
• Kür: [John Landen, Joseph-Louis Lagrange, Carl Fiedrich Gauß, Adrien-Marie Legendre] Ellipsenbogen, Lemniskate, elliptische Integrale, Substitution, Fixpunkte, Quadratische Konvergenz, Berechnung von Pi

12. Juni 2009: Gauss und das arithmetisch-geometrische Mittel, Teil 2 (Mario Koddenbrock & David Müßig)

• Integralsubstitution
• anschl.: Potenzmittel und ihre Ungleichungen, Überblick (Stefan Liebscher)

19. Juni 2009: Mercator und die Winkeltreue (Patrick Einig & Norman Warnatsch)

• Pflicht: Warum Integral 1/cos? Wert des Integrals [Wikipedia; Mercator's projection; Katz, A History of Mathematics, Kapitel 10.2]
• Kür: [Gerardus Mercator] Projektionen der Kugel, Winkeltreue vs. Flächentreue, Loxodrome und Navigation

26. Juni 2009: Die Kreiszahl und die Annäherungsversuche der Mathematiker (Laura Gellert & Benjamin Rahman)

• Pflicht: Arcustangens-Reihe [Katz, A History of Mathematics, Kapitel 12.3]
• Kür: [..., Archimedes, ..., Nilakantha, Madhava, Francois Viète, Ludolph van Ceulen, Gottfried Wilhelm von Leibniz, James Gregory, Johann Heinrich Lambert, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, ...] Kreisvermessung, geometrische oder algebraische Definition, Approximationen, Quadratur des Kreises, Irrationalität, Transzendenz, Pi und das arithmetisch-geometrische Mittel, Pi und die Gamma-Funktion, Pi und E

3. Juli 2009: Riemanns Zeta-Funktion und die Primzahlen (Huy Le-Duc & Christoph Peters)

• Pflicht: Definition, Produktdarstellung [Riemann, 1. Seite; auch Stein/Shakarchi, ch. 6+7]
• Kür: [Leonhard Euler, Bernhard Riemann, Jacques Hadamard, Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, ...] Definition, Produktdarstellung, Divergenz der harmonischen Reihe, Abschätzung der Primzahl-Anzahl, Funktionalgleichung, Gamma-Funktion, Riemann-Vermutung

10. Juli 2009: Das Kontinuum und die Transzendenz (Dominik Sittel & Georg Weiß)

• Pflicht: Liouville und Cantor [Dunham, The Calculus Gallery, Kapitel 8+11]
• Kür: [..., Euklid, ... Omar Khayyam, ..., Gottfried Wilhelm von Leibniz, Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, Joseph Liouville, Georg Cantor, Richard Dedekind, Charles Hermite, Ferdinand von Lindemann, ...] Rationale, Irrationale, Transzendente, Polynome, rationale Approximierbarkeit, Kettenbrüche, Liouvilles Konstruktion, Cantors Zählung, Goldener Schnitt, arithmetisch-geometrisches Mittel, Pi, E, ln 2

17. Juli 2009: Das Kontinuum und die Transzendenz, Teil 2 (Dominik Sittel & Georg Weiß)

Handouts/Links

1. Regenbögen und Kaustiken (Lisa Anders & Jale Hayta)
2. Konstruktion regulärer N-Ecke (Bernold Fiedler)
3. Gamelan interaktiv spielen, Video Gamelan Gong
4. Integralsubstutution, arithmetisch-geometrisches Mittel (Mario Koddenbrock)
5. Entfernung entlang Loxodromen und Orthodromen (Patrick Einig & Norman Warnatsch)